второй замечательный предел

[Roll]

Добрый день.

Поясните пожалуйста, почему следующее рассуждение не верно:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \ (1+1/x) ^ x = \lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x (1+1/x))$$

далее

$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x (1+1/x)) = \prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

а так как

$$\lim\limits_{x \to \infty} \ (1+1/x) = 1$$

,
то и

$$\prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x)) = 1$$

То есть при нахождении второго замечательного предела просто используем теореммы об арифметических действиях над переменными имеющими предел.

[AD]

Roll писал(а):

$$\prod\limits_{1}^x (1+1/x))$$

Первый вопрос - у нас по условию $x$ целое?

Roll писал(а):

$$\prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

Как вы понимаете это выражение, то есть порядок действий в нём?
Сначала вы устремили $x$ к бесконечности, а потом перемножили $x$ множителей?

[Echo-Off]

Roll писал(а):

$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x (1+1/x)) = \prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

В левой части $x$, как сказали бы логики, связная переменная, а в правой она и связная, и свободная. Такой переход не корректен.

[Roll]

AD писал(а):

Roll писал(а):

$$\prod\limits_{1}^x (1+1/x))$$

Первый вопрос - у нас по условию $x$ целое?

Допустим, что x - целое. Иначе представить степень через произведение наверно не получится.

AD писал(а):

Roll писал(а):

$$\prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

Как вы понимаете это выражение, то есть порядок действий в нём?
Сначала вы устремили $x$ к бесконечности, а потом перемножили $x$ множителей?

Ок. Пусть будет

$$\prod\limits_{1}^{x \to \infty} (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

То есть берется сколь угодно большое кол-во произведений (1+1/x).

[AD]

Roll писал(а):

$$\prod\limits_{1}^{x \to \infty} (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

В страшных снах таких выражений не видел ... Пока в ступоре. Очень надеюсь, что вы сами понимаете, что написали. Хотя причин для этого не много.

[Roll]

AD писал(а):

Roll писал(а):

$$\prod\limits_{1}^{x \to \infty} (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

В страшных снах таких выражений не видел ... Пока в ступоре. Очень надеюсь, что вы сами понимаете, что написали. Хотя причин для этого не много.

А что тут такого страшного ? Формально запись наверно неправильная. Но суть я думаю понятна.

[PAV]

Нет, суть непонятна. Математического смысла такая запись не имеет. После того, как взят предел при $x\to\infty$, выражение больше от $x$ не зависит, и в точности равно 1.

[Brukvalub]

Всякое вычисление пределов происходит путем нескольких применений тех или иных теорем о свойствах пределов. Вот и попробуйте обосновать таким образом каждый шаг своих вычислений. Тогда и станет видна ошибка - один из шагов "не подлезет" ни под какую из теорем.

[Roll]

Brukvalub писал(а):

Всякое вычисление пределов происходит путем нескольких применений тех или иных теорем о свойствах пределов. Вот и попробуйте обосновать таким образом каждый шаг своих вычислений. Тогда и станет видна ошибка - один из шагов "не подлезет" ни под какую из теорем.

ОК.

Верно ли что

$$\lim\limits_{x \to a} \ (f(x)) ^ x = \lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x))) = \prod\limits_{1}^a (\lim\limits_{x \to a}( (f(x)))) $$

( a - целое конечное число. f (x) в моем случае = 1+1/x )

?

[Brukvalub]

Странно, я задал вопрос именно Вам. Зачем Вы переадресовываете его мне? Пока Вы сами не попытаетесь все обосновать, ясности у Вас не наступит.

[Roll]

Brukvalub писал(а):

Странно, я задал вопрос именно Вам. Зачем Вы переадресовываете его мне? Пока Вы сами не попытаетесь все обосновать, ясности у Вас не наступит.

Я собственно и пытаюсь изложить ход своих мыслей.
1) Выражаем степень через произведение.

$$\lim\limits_{x \to a} \ (f(x)) ^ x = \lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x)))$$

2) Применяем теорему о равенстве предела произведения переменных произведению пределов.

$$\lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x))) = \prod\limits_{1}^a (\lim\limits_{x \to a}( (f(x)))) $$

[PAV]

Первое равенство непонятно, так как Вы просто непонятно на каком основании заменили $(f(x))^x$ на неравное ему выражение $(f(x))^a$.

Проще будет написать $(f(x))^x=e^{x\ln f(x)}$.

Затем, используя непрерывность экспоненты, поднимаете операцию перехода к пределу в показатель степени. Затем используете предел произведения... Ну и так далее.

[bot]

Второе - тоже. Левая часть без lim - уже число и от x не зависит, в правой - степень от предела функции. Равенством здесь и не пахнет

[Roll]

PAV писал(а):

Первое равенство непонятно, так как Вы просто непонятно на каком основании заменили $(f(x))^x$ на неравное ему выражение $(f(x))^a$.

Значит

$$\lim\limits_{x \to a} \ (f(x)) ^ x \neq \lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x)))$$

( a - целое конечное число.)

?
Если это так, то как это можно доказать или хотя бы можете привести контрпример ?

[PAV]

bot писал(а):

Второе - тоже. Левая часть без lim - уже число и от x не зависит, в правой - степень от предела функции. Равенством здесь и не пахнет

Это не совсем так. Символом $\prod\limits_{1}^a$ автор обозначает просто умножение выражение само на себя $a$ раз, или как мы это проще называем - возведение в степень $a$. Так что тут равенство есть, так как предел произведения равен произведению пределов.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Roll,
Я не утверждал, что равенство неверно. Но его нужно правильно обосновать.