Давление воды на выступ в виде сферы

[lantza]

Цитата:

Сосуд имеет на дне выступ в виде полусферы радиусом $R$ и высотой $h=R$. В сосуд наливают жидкость плотностью $\rho$ до уровня, при котором верхняя точка выступа находится на уровне края жидкости. Найти результирующую силу давления на выступ. Атмосферное давление не учитывать.

Мое решение:
"Доливаем" выступ той же водой и мысленно "убираем" выступ. Сила давления, действующая на участок выступа с верхней воды, равна силе давления, действующая на тот же участок выступа с нижней воды. Если бы это не было так, то вода бы внутри двигалась, что противоречит условию покоя воды. Поэтому эта задача равносильна тому, чтобы найти силу давления на выступ со стороны нижней части жидкости. Эту задачу уже легко решить через тот факт, что сила давления на стенку $F_\text{ст}=|m-m'|g$, где $m$ - масса всей воды и $m'$ - масса жидкости, заполняющего столб высотой $h=R$ и площадью поперечного сечения, равной площади дна $S=\pi R^2$. (Об этом факте пишут авторы задачника, показывая решение другой задачи, с доказательством. Очень, очень годный и хороший задачник, кстати.)

Вопрос вот в чем. Верны ли мои рассуждения о замене верхней воды нижней водой, что находится за выступом?
И есть ли какой-нибудь другой способ решения, скажем, через Архимедову силу? Я просто как-то не представляю, причем тут она, хотя авторы, вроде, намекнули ее использовать.

[svv]

Допустим, боковая стенка сосуда имеет цилиндрическую форму, а выступ — вписанная в цилиндр полусфера. (Вероятно, авторы имели в виду как раз такую форму, но даже если нет, это не принципиально.) Какие вообще силы действуют на налитую жидкость как на единое тело?:
Сила тяжести.
Поддерживающая сила со стороны выступа.
Сила со стороны цилиндрической боковой стенки. В силу симметрии равна нулю.

Как направлены первые две силы?
Чему равна равнодействующая?

[lantza]

svv в сообщении #1003233 писал(а):

Как направлены эти силы?

В силу симметрии горизонтальная сумма составляющих сил со стороны выступа равна нулю, следовательно, эти силы направлены вертикально.

svv в сообщении #1003233 писал(а):

Чему равна равнодействующая?

Нулю, жидкость покоится.

Ясно, можно было и попроще: $F_\text{ст}=m_\text{ж}g=\dfrac{1}{3}\rho g\pi R^3 $. Спасибо.

[svv]

Да, правильно.

-- Пн апр 13, 2015 00:31:17 --

lantza
Ваш способ тоже хороший. На полусферу, которую Вы превратили в воду, действуют:
Сила тяжести $m_{\text{полусф}}g=\rho g V_{\text{полусф}}$
Сила со стороны «верхней» жидкости $F_{\text{верх}}$, которую надо найти в задаче.
Поддерживающая сила со стороны дна (плоского, теперь это круг радиуса $R$ на глубине $R$):
$-pS_{\text{дна}}=-\rho g R S_{\text{дна}}$
И всё вместе равно нулю.

[rustot]

Подольем воды под полусферу. Сила архимеда с одной стороны равна весу вытесненной воды, посчитанной через объем полусферы, с другой равна давлению воды на нижнюю плоскость сферы минус искомое давление на оставшуюся часть поверхности