равенство генерального среднего выборочному

[alcoholist]

Пусть у нас имеется большая выборка из нормально распределенной совокупности. Как проверить гипотезу, что генеральное среднее равно выборочному?
И то же самое с дисперсией.

[мат-ламер]

Плохо понимаю, что такое генеральное среднее и боюсь попутать её с матем. ожиданием случайной величины, но хочу сказать, что шансов, что два действительных числа будут равны, практически никаких. Правильно ставить вопрос, что отклонение выборочного среднего от мат. ожидания (или что вы там имеете в виду под ген. средним) не превышает какой-то величины с вероятностью, скажем, 95 процентов.

[alcoholist]

мат-ламер в сообщении #1003128 писал(а):

шансов, что два действительных числа будут равны, практически никаких

В статистике так принято говорить. Они же так и формулируют гипотезы $H_0:\mu=\mu_0$. Но по смыслу это, конечно

мат-ламер в сообщении #1003128 писал(а):

то отклонение выборочного среднего от мат. ожидания

Тут пафос в другом. Обычная процедура проверки того, что среднее где-то рядом с $\mu_0$, состоит в следующем: $n$ раз что-то измеряем, вычисляем выборочное среднее $\bar{x}$ и какую-нибудь оценку дисперсии $S^2$. Потом смотрим выползает ли $\frac{|\bar{x}-\mu_0|}{S^2/\sqrt{n}}$ за какое-то там критическое значение. Если не выползает, то гипотеза не отвергается.
Так вот, если у нас всего одна выборка и среднее у нее $\bar{x}$, то гипотеза $H_0$ по любому не отвергается.

[--mS--]

Так в статистике НЕ принято говорить. Выборочное среднее вычисляется по выборке. Проверять гипотезу о его равенстве чему бы то ни было конкретному бессмысленно - берём и сравниваем. Гипотеза

alcoholist в сообщении #1003132 писал(а):

Они же так и формулируют гипотезы $H_0:\mu=\mu_0$.

состоит в том, что истинное (а не выборочное) математическое ожидание того распределения, из которого извлечена выборка, равно заданному числу $\mu_0$.

[alcoholist]

--mS-- в сообщении #1003200 писал(а):

состоит в том, что истинное

У меня об этом и был вопрос изначально.
Есть нормально распределенная $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$ генеральная совокупность (параметры неизвестны). Сделали выборку. Подсчитали выборочное среднее $\bar{x}$. Больше не дают нам выборок делать.
Гипотеза $H_0:\,\,\mu=\bar{x}$. Как проверять?

[--mS--]

Никак. Например, принимать. А можно отвергать. И ничего о качестве таковых выводов сказать нельзя.
А потом больше никогда не выдвигать таких гипотез. Гипотеза о значении параметров берётся из каких-то представлений об эксперименте, а не из выборки. Гипотеза не есть случайная функция в множество распределений, т.е. от выборки зависеть не должна. Если же она всё же хочет зависеть от выборки (т.е. от случайности, как в байесовском случае), то по крайней мере оба события - "$H_0$ верна" и "$H_0$ не верна" должны иметь ненулевую априорную вероятность. Событие же $\{\overline x=\mu\}=\{H_0 \text{ верна}\}$ имеет нулевую вероятность. Об этом выше уже говорили.
Если же изначально была гипотеза о распределении $\mu=\mu_0$, и $\overline x$ совпало с $\mu_0$, то - опять-таки - случилось событие нулевой вероятности. В этом случае делать можно всё что угодно - окна бить, гипотезы принимать или отвергать, с балкона прыгать - это картины мира не изменит.