2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Перевести одну плоскость в другую одним поворотом
Сообщение12.04.2015, 01:52 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Возьмем на $P_1$ ортонормированную пару векторов $a, b$, а на $P_2$ ортонормированную пару векторов $p_0, q_0$. Последнюю пару можно повернуть в $P_2$
$p=\;\;\;p_0\cos\varphi+q_0\sin\varphi$
$q=-p_0\sin\varphi+q_0\cos\varphi$
так, чтобы выполнилось условие $b\cdot p=a\cdot q$.

Т.к. плоскости $P_1, P_2$ пересекаются только в нуле, векторы $a, b, p, q$ образуют базис (не обязательно ортогональный). Определим линейный оператор $R$ его действием на базисные векторы:
$\begin{array}{l}R a=p\\R b=q\\R p=a\\R q=b\end{array}$

Можно проверить, что $R$ сохраняет скалярные произведения базисных векторов, а значит, он ортогональный. У него есть (помимо прочих) два собственных вектора, $a+p$ и $b+q$, соответствующие собственному значению $1$. Теперь можно выбрать уже ортонормированный базис $(e_1,e_2,e_3,e_4)$, так, чтобы $e_3, e_4$ лежали в линейной оболочке $a+p$ и $b+q$, а $e_1, e_2$ в его ортогональном дополнении (т.е. линейной оболочке $a-p$ и $b-q$). В этом базисе $R$ будет иметь нужный вид. (Определитель матрицы оператора $R$ в любом базисе единичный.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевести одну плоскость в другую одним поворотом
Сообщение12.04.2015, 15:53 


16/02/13
49
svv
Отличное решение. Здесь даже получается, что достаточно поворота на угол $\pi$)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group