Вероятность ошибки при изготовлении деталей

[Deffe]

Вот такую вот задачку пытаюсь решить.

Цитата:

При изготовлении детали на станке происходит случайная ошибка со средним квадратичным отклонением. Номинальный размер детали 8 см. Найти вероятность того, что отклонение длины изделия от номинального ($\sigma=0.08$) не превысит 0,2 см.

Как я понял, нужно использовать закон нормального распределения, однако нигде не могу найти какие его параметры за что отвечают в подобных случаях. Какие единицы измерения нужно использовать, или как сделать чтобы решение не зависело от того, в чем я возьму величины этих длин? Где вообще можно почитать как решаются подобные задачи?

[alcoholist]

Deffe в сообщении #1002873 писал(а):

случайная ошибка со средним квадратичным отклонением

тут должно число стоять с размерностью... Судя по контексту, это и есть $\sigma=0.08$см

То есть нужно вычислить $P(|x-8|\le 0.2)$

[Anton_Peplov]

Deffe в сообщении #1002873 писал(а):

Где вообще можно почитать как решаются подобные задачи?

Почитать можно в любом учебнике по теории вероятностей. Рекомендую Е. С. Вентцель, "Теория вероятностей" - подробный и понятный, без лишней зауми, которая никому, кроме профессиональных математиков, на фиг не нужна. Про нормальный закон там много, и как решаются подобные задачи, тоже есть.
И да - закон предполагается нормальным. По смыслу. Если закон не задан, решить невозможно.
А отклонение здесь, скорее всего, измерено не в сантиметрах, а в процентах.

[alisa-lebovski]

Да нет, скорее всего, тоже в сантиметрах. Получается две с половиной сигмы - это нормально.

[Deffe]

Получается ерунда, в чем именно ошибка?
$$ P(7.8\leq X\leq 8.2)=F(8.2)-F(7.8)= \Phi(\frac{8.2}{0.08})-\Phi(\frac{7.8}{0.08})=\Phi(102.5)-\Phi(97.5) \approx 0$$ \text{где } $\Phi(x)=\frac {1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\int_{0}^{x}\exp(-\frac {t^{2}}{2})\mathrm{d} t$

[alcoholist]

Deffe
А среднее кто вычитать будет, Пушкин?

-- Вс апр 12, 2015 13:16:22 --

Это у отклонения среднее нулевое, а не у размера детали

-- Вс апр 12, 2015 13:17:31 --

Anton_Peplov в сообщении #1002877 писал(а):

А отклонение здесь, скорее всего, измерено не в сантиметрах, а в процентах.

стандартное отклонение -- размерная величина

[Anton_Peplov]

alcoholist в сообщении #1002934 писал(а):

стандартное отклонение -- размерная величина

Согласен. Если пользоваться терминами строго по назначению (не путать абсолютное отклонение с относительным). Но получается, что автор задачи либо не проставляет единицы измерения у размерных величин, либо таки путает. Второе мне показалось правдоподобнее, но я могу быть не прав.

[Deffe]

alcoholist в сообщении #1002934 писал(а):

Deffe
А среднее кто вычитать будет, Пушкин?

-- Вс апр 12, 2015 13:16:22 --

Это у отклонения среднее нулевое, а не у размера детали

Я использовал все условия задачи и $\sigma=0.08$ и номинальный размер детали, и его отклонение, что еще можно было посчитать? Насколько я понял, задача не вполне корректно сформулирована и поскольку не имел опыта работы с подобными задачами, у меня и возникли затруднения.

[alisa-lebovski]

Это задача с подвохом в том смысле, что номинальный размер здесь вообще не важен. Задача вполне корректно сформулирована. Просто не очень благоразумно считать, что всегда надо использовать все условия задачи.

[alcoholist]

Deffe
вдумайтесь:

alcoholist в сообщении #1002875 писал(а):

нужно вычислить $P(|x-8|\le 0.2)$

[Deffe]

alcoholist в сообщении #1003018 писал(а):

Deffe
вдумайтесь:

alcoholist в сообщении #1002875 писал(а):

нужно вычислить $P(|x-8|\le 0.2)$

Вот так я и посчитал

$$ |x-8|\le 0.2 \\ $$ $$-0.2 \le x-8 \le 0.2 \\$$ $$7.8 \le x \le 8.2 \\$$

[alcoholist]

Deffe
ну а Ф -- это что за распределение?

[Deffe]

alcoholist в сообщении #1003038 писал(а):

Deffe
ну а Ф -- это что за распределение?

$F(x)=\Phi (\frac {x-a} {\sigma} )$ - функция распределения нормального закона, $\Phi (x)$ - функция Лапласса

-- 12.04.2015, 18:47 --

Нашел в учебнике такую формулу:
$P ( |X-m|)\le l ) = \Phi (\frac {l} { \sigma} ) -\Phi (-\frac {l} { \sigma} ) =2 \Phi (\frac {l} { \sigma} ) $
Решая по ней, получаю
$P ( |X-8|)\le 0.2 ) = 2 \Phi (\frac {0.2} { 0.08} ) = 0.988 $
Это верное решение?

[alcoholist]

(Оффтоп)

Deffe в сообщении #1003049 писал(а):

Это верное решение?

интуиция ничего не подсказывает?-))

-- Вс апр 12, 2015 18:50:17 --

Deffe в сообщении #1003049 писал(а):

$F(x)=\Phi (\frac {x-a} {\sigma} )$ - функция распределения нормального закона, $\Phi (x)$ - функция Лапласса

Вот видите, там "минус а" написано. Я это и имел ввиду, когда спрашивал

alcoholist в сообщении #1002934 писал(а):

Deffe
А среднее кто вычитать будет, Пушкин?

[barbecue]

в общем Вентцель Е.С.-Теория вероятностей-ВШ (1999) стр115-127
конкретно страница 122 вероятность попадения в заданный интервал
тамже есть пример задачи с решением
Таблица нормированного нормального распределения или Z распределения есть в конце книги. Если после этого возникнут трудности пишите.

немного не по теме, но только немного
http://mathprofi.ru/lokalnaja_i_integralnaja_teoremy_laplasa.html

-- 13.04.2015, 14:22 --

Пиримите во внимание что таблицы бывают слегка разнае, только с положительными аргументами, и с положительными и отрицательными, и которые начинают считать от нуля до 0.5 вправо, учитывая это нужно корректировать подсчеты. Разберетесь с одной таблицей(начитайте с той к которой и положительные и отрицательные аргументы в наличии) затем очень быстро разберетесь и с другими.

-- 13.04.2015, 14:24 --

про таблицы z распределения
в теме http://dxdy.ru/topic95925-15.html
на второй странице от 10.04.2015, 23:58