Приращение и дифференциал

[AGu]

Munin в сообщении #1002070 писал(а):

Актуальные бесконечно малые - это одно. Нестандартный анализ - это другое.

Точнее говоря, нестанданртный анализ является теорией (в математическом смысле), в рамках которой, в частности, формализуется понятие бесконечно малого. В обыденной математической жизни нестандартный анализ если и используется, то лишь на неформальном, наивном уровне, а бесконечно малые возникают как синонимы функций и т.п., в том или ином смысле имеющих нулевой предел. Если Вы не знакомы с нестандартным анализом, то лучше о нем и не говорить. (Это я щас на топикстартера наезжаю.)

[ИСН]

Какая вообще разница. Содержательные утверждения ("производная синуса - косинус" и т.д.) в любом анализе одинаковы, а основа, лежащая под этим, для физики безразлична, как для веб-приложения безразлично, на чём ходят пакеты: на электрических сигналах или на голубях.

[Munin]

AGu в сообщении #1002232 писал(а):

Точнее говоря, нестанданртный анализ является теорией (в математическом смысле), в рамках которой, в частности, формализуется понятие бесконечно малого.

Это, безусловно, да. Но снова повторю: всякая селёдка (нестандартный анализ) - рыба (актуальные бесконечно малые), но не всякая рыба - селёдка.

AGu в сообщении #1002232 писал(а):

В обыденной математической жизни нестандартный анализ если и используется, то лишь на неформальном, наивном уровне

Ну это вообще смешно. Зачем было формализовать, чтобы потом использовать на неформальном уровне

ИСН в сообщении #1002233 писал(а):

Содержательные утверждения ("производная синуса - косинус" и т.д.) в любом анализе одинаковы

Вообще говоря, не все. В нестандартном анализе - только те, которые "стандартны" по формулировке.

ИСН в сообщении #1002233 писал(а):

а основа, лежащая под этим, для физики безразлична, как для веб-приложения безразлично, на чём ходят пакеты: на электрических сигналах или на голубях.

Для физики-то безразлична, а вот для физиков - нет :-) Точно так же, как и веб-приложение на голубях начинает почему-то тормозить, что сказывается на его usability :-)

Стандартный анализ физиков вполне устраивает: там любая бесконечно малая может "вырасти" до конечной величины, сравнимой с другими не-малыми. В физике такое происходит сплошь и рядом, когда каким-то параметром сначала пренебрегают, а потом нет.

[AGu]

Munin в сообщении #1002334 писал(а):

Но снова повторю: всякая селёдка (нестандартный анализ) - рыба (актуальные бесконечно малые), но не всякая рыба - селёдка.

Ну дык, кто бы спорил. Вот и я о том же: упоминание бесконечно малого далеко не всегда означает привлечение нестандартного анализа. Чаще это просто синоним... тра-ля-ля, тополя. Вы чего это, эй, мы же с Вами на одной стороне.

Munin в сообщении #1002334 писал(а):

Ну это вообще смешно. Зачем было формализовать, чтобы потом использовать на неформальном уровне

Ну да. Жизнь — штука порой очень смешная. Бесконечно малые сплошь и рядом используются неформально — по той простой причинке, что сопутствующие формальности умалчиваются. Это касается обоих случаев употребления бесконечно малых — и как функций, и как чисел (актуальных величин). Более того, формальности зачастую можно восстановить тоже двумя способами, и первый случай иногда можно расценивать как неформальную версию второго. И я вновь напоминаю, что мы на одной стороне. И нефик на меня наезжать, а то я начну Вас хвалить прямо на людях, и Вы будете смущены донельзя.

[Munin]

AGu в сообщении #1002349 писал(а):

мы же с Вами на одной стороне. :-)

Осталось дождаться ТС, поймать его, и поучать с двух сторон до тех пор, пока он со всем не согласится :-)

[Qazed]

Простите за задержку --- дремал.

Munin в сообщении #1002386 писал(а):

Осталось дождаться ТС, поймать его, и поучать с двух сторон до тех пор, пока он со всем не согласится

Я был готов согласится с вами сразу, позволю себе заметить, что изначально вопрос был задан другой:

Qazed в сообщении #1001035 писал(а):

Здравствуйте, в продолжение темы...
Как в этих обозначениях определить удельную теплоту плавления в-ва в точке?

$$ \lambda = \dfrac{\delta Q}{\mathrm{d} m} \quad (1)$$

$$ \lambda = \dfrac{\delta Q}{\delta m} \quad (2) $$

[Munin]

Сверху $\delta,$ снизу $d.$

[Qazed]

Спасибо!

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы...

Как определить среднюю молярную массу в небольшом объёме (в терминах $\mathrm d$ и $\delta$)?

$$\overline M = \dfrac{\sum \limits_i \delta m_i}{\sum \limits_i \delta \nu_i}$$

[ИСН]

Не надо определять среднюю молярную массу в небольшом объёме. А если всё-таки очень хочется, то так же, как везде: какие величины являются функциями состояния, у тех $d$, а какие нет, у тех $\delta$. Мы с самого начала так говорим. Вы это понимаете или нет? Если нет, то какая вообще разница, что за буква.

[Qazed]

Очень хочется. Определение функции состояния знаю, но почти уверен --- понимаю неправильно. Если вы попробуете мне объяснить (у вас неплохо получается) я, наверное, смогу ответить.

P.S. Небольшой объём гораздо-гораздо больше чем бесконечно малый и даже достаточно малый. Если это необходимо учесть.

[ИСН]

Мы получили газ, он зелёный. У него есть цвет? У него есть масса? У него есть работа? У него есть время? Вот то, что есть - это функции состояния, а остальное - нет.

[fronnya]

Величина, перед которой стоит $\delta$, не является изменением чего-то, она является малой частью этого самого чего-то. Т.е. $\delta Q$- это бесконечно малое количество теплоты, но никак не изменение количества теплоты, это некорректно. Вот есть какое-то большое количество $Q$ от него взяли оочень маленькую часть, это и есть $\delta Q$. Ещё можно так различать
$\oint dU(x,y)=\int\limits_{(x_1,y_1)}^{(x_1,y_1)} dU=U(x_1,y_1)-U(x_1,y_1)=0$ всегда.
И ещё тогда $\int\limits_L dU$ не зависит от формы кривой $L$ а зависит лишь от начальной и конечной точки интегрирования, т.е. если $\alpha$ и $\beta$- две точки, принадлежащие кривой $L$, то $\int\limits_{\alpha}^{\beta}dU=U(\beta)-U(\alpha)$
Вот пусть у нас есть некоторая малая величина $l=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ и если она является полным дифференциалом, т.е. $\frac{\partial P(x,y)}{\partial{y}}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$, то мы пишем $dl$, если же то равенство не выполняется, пишем $\delta l$.

То равенство частных производных, которое я указал- это необходимое и достаточное условие того, что данная величина является полным дифференциалом.

[Legioner93]

fronnya в сообщении #1034657 писал(а):

То равенство частных производных, которое я указал- это необходимое и достаточное условие того, что данная величина является полным дифференциалом.

Не совсем так.

Дифференцируемое потенциальное поле в области $G$ лишь необходимо удовлетворяет

fronnya в сообщении #1034657 писал(а):

$\frac{\partial P(x,y)}{\partial{y}}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$

Достаточным (то есть критерием) это условие является в односвязной области.

[Qazed]

Всем спасибо, разобрался.