Задача по нормальному распределению

[barbecue]

Задача
При наполнении бутылки объем жидкости распределен нормально со параметрами: средним - 500ml и с.к.о. - 5ml.

а)Какова вероятность того, что в бутылке будет меньше 490ml.

б)Какова вероятность того, что бутылка переполнится, если объем бутылки распределен нормально с параметрами: средним - 510ml и с.к.о. - 2ml.
Объемы бутылки и жидкости независимы.


Задание а) решено:
$P(X\leqslant 490)= 1 - \Phi(\frac{490-500}{5}) = \Phi(-2) = 1-\Phi(2)= 1- 0.9772= 0.0228$
надеюсь правильно

Задание б) не решено
Соображения:
Так как, вероятности независимы, нужно найденные по отдельности вероятности того, что бутылка переполнится умножить.

Это я понимаю только не могу связать две вероятности воедино.
Если бы все бутылки были ровно по 510ml то я нашел бы вероятность того, что объем жидкости привысил 510ml.

Найдем
$P(X \geqslant 510)= 1 - \Phi(\frac{510-500}{5})= 1-\Phi(2)= 1- 0.9772= 0.0228$

Еслибы все объемы жидкосьт были равны 500ml, то я бы нашел вероятность что бутылка объемом меньше 500ml
Найдем
$P(Y \leqslant 500)= 1 - \Phi(\frac{500-510}{2})= \Phi(-5) = 1-\Phi(5)= 1- 1= 0.0$

у меня таблица только до $\Phi(3.5)$

Вероятность того что произойдут оба эти события одновременно
P(бутылка переполнится) $ = P(XY) = 0.0228 \cdot0.0= 0.0 $

Правильно ли решены задания?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

В б) вам нужно узнать вероятность того, что разность двух независимых нормальных с.в. отрицательна. Для этого достаточно посмотреть, например, на лемму 5 здесь. (да простит меня автор материала по ссылке, если это снова ссылка на контрафактную копию, один раз мне за такую ссылку уже попало... ).

[Lia]

Не, автор сам туда ссылается.

[--mS--]

Brukvalub в сообщении #1001801 писал(а):

Для этого достаточно посмотреть (...)

Недостаточно, боюсь. Там про сумму, а ТС надо про разность. Ещё либо про распределение "минус объёма бутылки" знать надо, либо про свойства дисперсий.

[Александрович]

Дисперсия разности двух независимых св равна сумме десперсий этих величин.

[AGu]

(Оффтоп)

А вот интересно, если топикстартер еще немного помолчит, успеют ли осторожные и педагогичные участники, раскрывая тонкие намеки друг друга, оформить решение, полностью готовое к завтрашней сдаче?

[barbecue]

--mS-- в сообщении #1001848 писал(а):

Там про сумму, а ТС надо про разность.

Что такое "ТС"?

--mS-- в сообщении #1001848 писал(а):

"минус объёма бутылки"

И что такое минус объём бутылки?

Сегодня не разбирался, завтра посмотрю.

Brukvalub в сообщении #1001801 писал(а):

Для этого достаточно посмотреть, например, на лемму 5 здесь.

Я посмотрел на лемму, но пока не понял сути, того как два распределения сливаются в одно и при этом описывают ситуацию. В книги ни разу не встречал того как лемма связана с реальной задачей.

А мое предложение совсем неверное. Ведь когда речь идет о элементарной вероятности и совпадении двух событий используем закон умнажения, для соответствующих вероятностей. Хотя тут немного все подругому тот мы имеем функцию распределения а не вероятность. Но не разу не встречал подобных задач, она даже не типовой кажется.

[Александрович]

Вам нужно вместо двух с.в. ввести одну новую с.в. и найти для неё распределение.

[--mS--]

barbecue в сообщении #1002172 писал(а):

И что такое минус объём бутылки?

А что такое $-7$, $-\pi$, $-0{,}13847398457$, Вы знаете?

[barbecue]

Какт как с.в. независимы то нужно сложить мат. ожидания и дисперсии, получится снова нормальное распределение с параметрами
$\mu$ = 500 + 510 = 1010
$\sigma$^2 = 5^2 + 2^2 = 29
$\sigma = \sqrt{29} \approx 5,38$
Теперь нужно для определения вероятности определить какой интервал меня интересует, но что за новое распределение я получил и как его интерпретировать(что оно собой представляет), как я должен определять интервал?
Если с распределением объема жидкости было все понятно, то теперь получили распределение "ОбъемЖидкости-ОбъемБутылки", что дальше с ним делать?

-- 10.04.2015, 21:02 --

--mS-- в сообщении #1002195 писал(а):

А что такое $-7$, $-\pi$, $-0{,}13847398457$, Вы знаете?

да знаю

[Brukvalub]

barbecue в сообщении #1002391 писал(а):

...
Если с распределением объема жидкости было все понятно, то теперь получили распределение "ОбъемЖидкости-ОбъемБутылки", что дальше с ним делать?
...

Играйте "в принтер" (мы диктуем - вы печатаете) без меня. Я не драйвер для ленивых "принтеров" .

[barbecue]

Brukvalub в сообщении #1002418 писал(а):

Я не драйвер

Укажите пожалуйста на пример с аналогичным заданием, или с объяснением.

-- 10.04.2015, 22:47 --

Порекомендуйте правильную литературу(конкретную). Выясните ленив ли я, или нет. Посмотрю ли я рекомендованый материал или попрошу решение.
И тогда уже делайте выводы.
А то выводы присутствуют, а оснований мало.
Заранее благодарен.

[Otta]

barbecue в сообщении #1002425 писал(а):

Укажите пожалуйста на пример с аналогичным заданием,

Ваш пример под буковкой (а). Абсолютно аналогичен.
И пока Вы не напишете, вероятность чего Вы считаете, в терминах Ваших же обозначений и введенных Вами же случайных величин, Вы не продвинетесь.

-- 10.04.2015, 23:49 --

(Оффтоп)

barbecue в сообщении #1002425 писал(а):

Порекомендуйте правильную литературу(конкретную). Выясните ленив ли я, или нет. Посмотрю ли я рекомендованый материал или попрошу решение.
И тогда уже делайте выводы.

Вам порекомендовали литературу. И сделали выводы. Все нормально.