Две поверхности с нулевой гауссовой кривизной

[DLL]

Цитата:

Но теперь нет никаких гарантий, что поверхность будет линейчатой.

А это и не требуется.

Цитата:

А если поверхность не линейчатая, то, согласно Хартману, и $K\neq 0$.

Эту мысль не понял. Можете пояснить?

[svv]

Утверждение $A$: Гауссова кривизна $K$ поверхности $\alpha$ равна нулю.
Утверждение $B$: Поверхность $\alpha$ линейчатая.
Хартман доказал, что из $A$ следует $B$.
По правилам логики, из отрицания $B$ следует отрицание $A$.

[DLL]

Логично. Ну т.е. если гауссова кривизна поверхности равна нулю, для нее СУЩЕСТВУЕТ линейчатая параметризация...
Но, вообще говоря, можно написать и квадратичную. Например поверхность

$$g = (u+1) v^2 + v + (u^2 + 1), s = v, t = u v^2 + v + u^2$$

имеет нулевую гауссову кривизну.

Мне бы все-таки хотелось получить выражение для связанной параметризации. Это связано вот с чем.
Фактически параметризация Хартмана (с добавлением еще соотношений на функции $a_i(u), b_i(u)$) дает общее решение уравнения $g_{ss} g_{tt} - g_{st}^2 = 0$.
В действительности, есть два уравнения $g_{ss} g_{tt} - g_{st}^2 = 0$ и $f_{ss} f_{tt} - f_{st}^2 = 0$, которые являются частью большей системы.
Если бы можно было написать связанную параметризацию, это значительно улучшило ситуацию по их решению...

[svv]

Тогда вопрос:
Вы берете произвольную линейную параметризацию $\mathbf r(u, v)=\mathbf a(u) v + \mathbf b(u)$ и определенной заменой переменных переходите от неё к квадратичной,
или
Вы берете произвольную квадратичную параметризацию $\mathbf r(u, v)=\mathbf c(u) v^2+ \mathbf a(u) v + \mathbf b(u)$, надеясь, что некоторой заменой переменных она может быть приведена к линейной? (ибо, если это невозможно, $K\neq 0$).

В первом случае у меня нет претензий, во втором надо находить условия, при которых возможно такое приведение. Думаю, что это довольно ограничительные условия.

[DLL]

Подставив линейчатую параметризацию в уравнение $g_{ss} g_{tt} - g_{st}^2 = 0$ можно получить соотношения на функции $a_i(u), b_i(u)$.
Также можно поступить и с квадратичной. И получить соотношения на функции $a_i(u), b_i(u), c_i(u)$.

[svv]

Вы имели право взять линейную параметризацию, потому что, по Хартману, любая функция с $K=0$ может быть записана в линейной параметризации. Поэтому беря линейную параметризацию с пока что произвольными $\mathbf a(u), \mathbf b(u)$, Вы можете быть уверены, что не ограничиваете множество функций с $K=0$.

Чтобы проделать то же с квадратичной параметризацией, Вы должны быть уверены, что любая функция с $K=0$ может быть записана и в квадратичной параметризации, иначе её использование ограничит множество решений. Вроде бы это возможно: просто полагаем $\mathbf c=0$, и формально у нас квадратичная параметризация.

Хорошо. Против такого варианта возражений нет. Но это пока первый шаг. А дальше может выясниться, что использование двух связанных определённым образом квадратичных параметризаций накладывает такие же сильные ограничения на два решения, как и в случае линейных параметризаций (о чем говорили раньше). Не просто сильные, а необоснованно сильные (типа требования, чтобы проекции прямых (ясно каких) на плоскость $(s, t)$ совпадали).

[DLL]

svv в сообщении #1001638 писал(а):

Хорошо. Против такого варианта возражений нет. Но это пока первый шаг. А дальше может выясниться, что использование двух связанных определённым образом квадратичных параметризаций накладывает такие же сильные ограничения на два решения, как и в случае линейных параметризаций (о чем говорили раньше). Не просто сильные, а необоснованно сильные (типа требования, чтобы проекции прямых (ясно каких) на плоскость $(s, t)$ совпадали).

Согласен. Вот поэтому хотелось бы понять, можно ли из каких-то геометрических соображений попытаться написать какую-нибудь внятную параметризацию для связанного случая?

[DLL]

Кстати, судя по справочнику Зайцева у уравнения есть общее решение, которое, как мне видится, чуть лучше, чем параметризация Хартмана:
$w = t x + \varphi (t) y + \psi (t),$
$x + \varphi' (t) y + \psi '(t) = 0.$

Если есть еще одно такое уравнение (например, для функции $v(x,y)$), то:
$v = s x + \alpha (s) y + \beta (s),$
$x + \alpha' (s) y + \beta '(s) = 0.$

Рассмотрим подробнее два равенства:
$x + \varphi' (t) y + \psi '(t) = 0,$
$x + \alpha' (s) y + \beta '(s) = 0.$

Можно выразить $x$ и $y$:

$$x = \frac{\psi '(t) \alpha' (s) - \beta '(s) \varphi' (t)}{\varphi' (t) - \alpha' (s)},$$

$$y = \frac{\psi '(t) - \beta '(s)}{\alpha' (s) - \varphi' (t)}.$$

Тогда формулы задают связанную параметризацию двух поверхностей:

$$w = t x + \varphi (t) y + \psi (t),$$

$$v = s x + \alpha (s) y + \beta (s),$$

$$x = \frac{\psi '(t) \alpha' (s) - \beta '(s) \varphi' (t)}{\varphi' (t) - \alpha' (s)},$$

$$y = \frac{\psi '(t) - \beta '(s)}{\alpha' (s) - \varphi' (t)}.$$

Логично?