Непонятные тройные произведения

[sumb]

Спасибо за помощь в решении! Думал, что я дурак (что отчасти верно, мог ведь другие пособия/учебники использовать), а оказалось, что в недопособии Письменного просто-напросто нет формулы Лагранжа, которая даже в Википедии есть. Втопку эту макулатуру тогда. Пара невыясненных нюансов по теме:

1. Как прийти к замене $((\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{c}\times \bar{d}) )^2=a^2(\bar{a}\bar{b}\bar{c})^2$? Догадаться? Весьма нетривиально, на мой взгляд дилетанта.
2. Известен ли вам другой способ решения?

И один вопрос не совсем по теме, но близкий. В приведенном в Википедии доказательстве тождества Лагранжа был рассмотрен, ИМХО, какой-то слишком частный случай (что недопустимо, если я правильно понимаю):

Цитата:

Выберем правый ортонормированный базис $\vec{e_1},~ \vec{e_2},~ \vec{e_3}$ так, чтобы
$\vec{a} = \alpha_1 \vec{e_1} + \alpha_2 \vec{e_2} + \alpha_3 \vec{e_3},$
$\vec{b} = \beta_1 \vec{e_1} + \beta_2 \vec{e_2},$
$\vec{c} = \gamma_1 \vec{e_1}.$

Почему $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не имеют вторых координат, а $\vec{c}$ не имеет еще и 3-й? По-моему, должны быть все координаты, ведь так? Тогда тождества, вроде как, не будет.

[svv]

Как преобразовать $(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})$ ? Ну, руководящая идея — пользуясь формулой «бац минус цаб», раскрывать, раскрывать и раскрывать, надеясь на обнуления и сокращения (эта надежда действительно оправдывается).

Насчет тождества Лагранжа — укажите ссылочку, пожалуйста. Сам что-то не нашел.

[sumb]

svv в сообщении #1001265 писал(а):

Как преобразовать $(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})$ ? Ну, руководящая идея — пользуясь формулой «бац минус цаб», раскрывать, раскрывать и раскрывать, надеясь на обнуления и сокращения (эта надежда действительно оправдывается).

Поясню. Насколько я понял, самый-самый первый шаг в решении - это именно заменить правую часть исходного тождества на то, что вы предложили еще год назад и написали выше (только в квадрате). Потом, естественно, обосновать замену, то бишь еще одно тождество доказать, на чём я и застопорился, но товарищ ewert подсказал формулу, а ludwig51 наглядно показал. Но как именно к этой замене прийти, до обоснования?

svv в сообщении #1001265 писал(а):

Насчет тождества Лагранжа — укажите ссылочку, пожалуйста. Сам что-то не нашел.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Двойное_векторное_произведение

[svv]

Есть векторы $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$. Мы хотим выбрать удобный для дальнейшего рассмотрения ортонормированный базис. Всегда можно набравить базисный вектор $\mathbf e_1$ по направлению вектора $\mathbf c$, тогда они будут коллинеарны: $\mathbf c=\gamma_1 \mathbf e_1$. Когда вектор $\mathbf e_1$ выбран, можно ещё повращать вокруг него базис и добиться того, чтобы вектор $\mathbf b$ лежал в плоскости, задаваемой векторами $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$. После этого вектор $\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2$ уже определится, и для вектора $\mathbf a$ мы уже не сможем требовать какого-то специального вида в этом базисе.

[Munin]

Её все только "бацминусцабом" называют, а Лагранжем - никто. Так что, переучивайтесь, если хотите с окружающими на одном языке разговаривать.

В честь Лагранжа названо достаточно много других интересных вещей, так что он не в обиде.

[sumb]

svv
Спасибо, теперь всё понятно. Хоть в самой ВП и написано выбрать базис "так, что...", я как-то мимо ушей это пропустил, и в голове сперва базис задан, а потом уже векторы в нем определяются. А что насчет моих "непоняток" с заменой?

[Munin]

Кстати, немцы её называют тождеством Грассмана, а тождеством Лагранжа - другую формулу.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Eigenschaften

-- 07.04.2015 19:40:19 --

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_things_named_after_Joseph-Louis_Lagrange

[Sinoid]

svv в сообщении #1001014 писал(а):

Так что, попросим автора доказать четвёртое тождество, или пусть наслаждается жизнью?

А не хочу!

-- 07.04.2015, 20:50 --

sumb в сообщении #1001262 писал(а):

2. Известен ли вам другой способ решения?

Так, вообще, к каждой задаче можно придумать столько способов решения!

[ewert]

sumb в сообщении #1001270 писал(а):

но товарищ ewert подсказал формулу,

Вообще-то подсказал товарищ svv, а я всего лишь расшифровал его подсказку.

sumb в сообщении #1001270 писал(а):

Но как именно к этой замене прийти, до обоснования?

А вот тут как раз всё очень просто. Во всей векторной алгебре есть, грубо говоря, лишь две теоремы (не считая тривиальных) -- это правило циклической перестановки и вот та самая пресловутая "бац минус цап". Их надо твёрдо знать, и при каждом удобном случае пытаться тыкнуть во все щели, вот и всё.

[ludwig51]

ludwig51 в сообщении #1000918 писал(а):

Доказательство справедливости тождества 3 с учётом замечаний и формул Svv.

3) $(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}-((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$

$((\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{c}\times \bar{d}) )^2=a^2(\bar{a}\bar{b}\bar{c})^2$
$(\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{a}\times \bar{c}) =(\bar{a}\bar{a}\bar{c})\bar{b}-(\bar{b}\bar{a}\bar{c})\bar{a}=(\bar{c}\bar{a}\bar{a})\bar{b}-(\bar{a}\bar{c}\bar{b})\bar{a}=(\bar{c}(\bar{a}\times \bar{a}))\bar{b}-(\bar{a}(\bar{c}\times \bar{b}))\bar{a}=\bar{a}(\bar{a}(\bar{b}\times \bar{c}))=\bar{a}(\bar{a}\bar{b}\bar{c})$

Исправлены мои ошибки. Были пропущены скобки.

[Sinoid]

Так

ewert в сообщении #1001426 писал(а):

"бац минус цап".

или

svv в сообщении #1001265 писал(а):

«бац минус цаб»,

?

[Nemiroff]

BAC − CAB
Хоть вассавом назовите.

[ludwig51]

Sinoid в сообщении #1001620 писал(а):

Так

ewert в сообщении #1001426 писал(а):

"бац минус цап".

или

svv в сообщении #1001265 писал(а):

«бац минус цаб»,

?

Имеется более общее правило двойного векторного произведения.
Среднее на скалярное произведение оставшихся минус крайнее в скобках на скалярное произведение оставшихся.
Примеры:
$\bar{a}\times (\bar{b}\times\bar{c})=\bar{b}(\bar{a}\bar{c})-\bar{c}(\bar{a}\bar{b})$
$(\bar{a}\times\bar{b})\times\bar{c} =\bar{b}(\bar{a}\bar{c})-\bar{a}(\bar{b}\bar{c})$

$(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})=\bar{a}((\bar{a}\times\bar{b})\bar{c})-\bar{c}((\bar{a}\times\bar{b})\bar{a}) $
или
$(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})=\bar{b}((\bar{a}\times\bar{c})\bar{a})-\bar{a}((\bar{a}\times\bar{c})\bar{b})$

[Munin]

Ещё забавный нюанс: во французской Википедии ни малейшего намёка на мнемонику "бац минус цаб" нет, там даже сама формула записана через $u,v,w.$

[Sinoid]

ludwig51 в сообщении #1001635 писал(а):

Имеется более общее правило двойного векторного произведения.

Да знаю я, знаю, просто написано цап

-- 09.04.2015, 00:12 --

Munin в сообщении #1001637 писал(а):

во французской Википедии ни малейшего намёка на мнемонику "бац минус цаб" нет

Ну в русском языке подобная мнемоника выглядит прикольнее (бац, бац и мимо)