Спектральный параметр в МОЗР

[no_name]

Насколько я понимаю с некоторыми нелинейными эволюционными уравнениями можно ассоциировать линейные системы из решений которых можно построить соответствующие решения нелинейных уравнений в некоторых пространствах обладающих специфическими свойствами, например в пространствах Шварца.

Например, рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \mathbf{v}_x=X\mathbf{v}\\ \mathbf{v}_t=T\mathbf{v} \end{cases} $$

Для того, чтобы она была совместна необходимо (или ещё и достаточно?), чтобы равнялись перекрёстные производные. Их приравнивание приводит к условию совместности системы:

$$X_t-T_x+[X,T]=0$$

Если в матрицы $T(x,t)$ и $X(x,t)$ соответствующим образом "зашить", например функции $q(x,t)$ и $r(x,t)$, то получим некоторое нелинейное уравнение, которое зависит от конкретного вида $T$ и $X$. Здесь впервые появляется термин "спектральный параметр", говорится, что для того, чтобы это уравнение было нетривиальным, матрицы должны зависеть от некоторого параметра $T(x,t,\xi)$ и $X(x,t,\xi)$, такого что: $\xi_t=0$.

Например, для системы Захарова Шабата:

$$ \begin{tabular}{cc} \begin{cases} v_{1x}=-i\xi v_1+qv_2\\ v_{2x}=i\xi v_2+rv_1 \end{cases} & \begin{cases} v_{1t}=Av_1+Bv_2\\ v_{2t}=Cv_1+Dv_2 \end{cases} \end{tabular}$$

Мы, вообще изначально зная только $X(x,t,\xi)$, можем с помощью такого же перекрёстного дифференцирования найти условия совместности на скалярные функции $A,B,C,D$.

$$ \begin{cases} A_x=qC-rB\\ B_x+2i\xi B=q_t-2Aq\\ C_x-2iC=r_t+2Ar \end{cases} $$

Эта система совместна как раз тогда, когда выполнено некоторое условие, которое и является эволюционным уравнением, его можно найти в общем случае или, например представить коэффициенты в таком виде:

$$A=A_2\xi^2+A_1\xi+A_0$$

Тогда приравняв коэффициенты при равных степенях получим НУШ (для $q(x,y)$ и $r(x,y)$), если взять разложение по обратным степеням то sin-Gordon, в случае трёх степеней мКдФ. В дальнейшем в МОЗР очень много крутится вокруг этого параметра.

Мне не понятно, что значит нетривиальное условие совместности, что будет если матрицы $X$ и $T$ не будут зависеть от $\xi$. Ясно, что мы не сможем применить метод описанный выше, хотя сама линейная задача от этого сильно не изменится, она будет просто соответствовать той, что получится если взять $\xi$ фиксированным.

Для меня пока что выкладки выше выглядят каким-то искусственным усложнением простой задачи (линейная система) в результате которого получается верный результат. Как здесь надо думать, чтобы додуматься ввести этот спектральный параметр? И какой у него смысл? В книге Абловица и Сигура "Солитоны и метод обратной задачи", сказано, что он играет роль собственного значения. Действительно если $r=-1$, мы из задачи Захарова Шабата получим обычное уравнение Шрёдингера где $\xi^2$ будет играть роль самого обычного собственного значения оператора Штурма-Лиувилля. Но это частный случай.

И ещё в таком подходе получается, что у нас есть какая-то линейная задача, которая "первична", а уже по ней мы можем найти соответствующее нелинейное эволюционное уравнение, которое оказывается решаемым с помощью МОЗР?

Что мне надо делать, чтобы с этим разобраться и что я сказал не правильно?

[пианист]

Можно, например, так: из условия нулевой кривизны получаем закон сохранения (делаем параллельный перенос по замкнутому контуру) - но только один. Для интегрирования надо таких законов много (бесконечно много), вот если связность будет зависеть от параметра (но так, чтобы всем значениям параметра отвечало одно и то же условие совместности!), то получаем семейство законов сохранения. Такая примерно схема рассматривается в книге Тахтаджян, Фаддеев.
В "классической" схеме по $\lambda$ делается интегральное преобразование, чтобы получить уравнение Гельфанда-Левитана.

[v_n]

В представлении нулевой кривизны действительно все выглядит несколько искусственно. Проще понять, что является "первичным" в представлении Лакса. Пусть у нас есть линейный дифференциальный оператор явно независящий от переменной. Мы можем поставить себе задачу - какие существуют преобразования, сохраняющие дискретный спектр данного оператора. Для всех таких операторов существует тривиальный ответ - сдвиг по независимой переменной. Если мы обозначим сдвиг буковкой $t$, то легко можем написать каким дифференциальным уравнениям должны одновременно удовлетворять и оператор и собственная функция. $Lf=\lambda f$ из $f_x=f_t$ следует $L_x=L_t$.
Для некоторых операторов существуют нетривиальные преобразования сохраняющие спектр. Для большинства классических операторов связанных с МОЗР их нетрудно найти и с помощью несложных манипуляций вывести дифференциальные уравнения, которым одновременно будут удовлетворять и оператор и собственная функция. При этом автоматически получается иерархия таких уравнений. Некоторые из них случайно имеют значение для физики.

[пианист]

Справедливости ради добавлю: в каких-то ситуациях без спектрального параметра, видимо, обойтись можно, точнее, данные рассеяния "снимаются" только для одного значения этого параметра.
Но я читал это только в одной статье Манакова, которая (статья) выше моего разумения, поэтому объяснить, как это, не могу :(
"Кота, ежели угодно, могу показать" $\texttrademark$

[nenefertiti]

Еще можно добавить, что благодаря $\lambda$ можно получить преобразование Беклунда. Вообще, наличие параметра, видимо, "морально" наследуется из групп Ли. Там все строится на (с) параметре(ом).