2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:56 


19/05/10

3940
Россия
raizak в сообщении #1000482 писал(а):
ewert, нет, я не угадывал. Я доказывал монотонность только функции f(x). Дальше левее абсциссы $-5/4$ функция не существует, а далее она строго возрастает (ибо все ее производные положительны, если Вы на этом намекали). Вопрос: что делать с функцией g(x,a)?
raizak, модуль умеете раскрывать? Да, кстати, там корень кубический (но это не важно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #1000483 писал(а):
Ничего они не пудрят, сейчас не 80-й год.

А год тут не при чём. Ну валяйте, доказывайте монотонность функции $f(x)=x$ с помощью производных. Действительно: достаточно ведь просто заметить, что производная равна единице, а единица больше нуля!

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 14:04 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1000487 писал(а):
...Ну валяйте, доказывайте монотонность функции $f(x)=x$ с помощью производных. Действительно: достаточно ведь просто заметить, что производная равна единице, а единица больше нуля!
Это че?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 14:18 


04/03/15

24
ewert в сообщении #1000484 писал(а):
Доказывать, что она также монотонна при любом значении параметра.


Это можно сделать просто подставляя разные значения параметра. Дальше -- техника. Сделано. Полностью убедились, что функция монотонно-возрастающая. Теперь же я возвращаюсь к моему начальному вопросу:
Цитата:
Чтобы неравенство было верно на каком-либо отрезке достаточно того, чтобы оно было верно в правом конце отрезка. В данном случае при $x=-1$. Если это действительно так, что у меня вызывает толику сомнения, то не могли бы вы объяснить, почему именно так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 14:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
raizak в сообщении #1000489 писал(а):
Это можно сделать просто подставляя разные значения параметра.

Этого нельзя не то что сделать, но даже и делать нельзя.

raizak в сообщении #1000489 писал(а):
не могли бы вы объяснить, почему именно так?

Нет, не могу. Просто нарисуйте условную картинку -- и сами увидите. Если же вопрос был о том, что следует писать в этом месте в официальном решении, то ответ: ничего. Подразумевается, что это очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 14:35 


04/03/15

24
ewert в сообщении #1000495 писал(а):
Этого нельзя не то что сделать, но даже и делать нельзя.

Как же тогда? Неужели дифференцировать?

ewert в сообщении #1000495 писал(а):
Нет, не могу. Просто нарисуйте условную картинку -- и сами увидите. Если же вопрос был о том, что следует писать в этом месте в официальном решении, то ответ: ничего. Подразумевается, что это очевидно.

Прекрасно все вижу, это действительно так. Но я все же думал, что это отнюдь не очевидно, что, например, для какой-либо монотонной функции f(x) на интервале [a;b] достаточно подставить значение $b$. Или это справедливо только для монотонных функций? Неужели даже теоремы никакой, даже следствия не найдется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Да зачем вам теорема? Ну, если уж надо, давайте так. Требуется, чтобы неравенство $f(x) \leqslant b$ выполнялось на отрезке $[-4;-1]$. В частности, должно выполняться $f(-1)\leqslant b$.

В силу монотонности $f$ для всех $x\leqslant -1$ выполняется $f(x) \leqslant f(-1) \leqslant b$. То есть условие $f(-1)\leqslant b$ является и достаточным для выполнения $f(x) \leqslant b$ на отрезке $[-4;-1]$.

Если монотонности нет, то неравенство на отрезке сводится к такому: $\max(f(x)) \leqslant b$ где максимум берется на отрезке $[-4;-1]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 15:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
raizak в сообщении #1000496 писал(а):
Как же тогда? Неужели дифференцировать?
Нет, разумеется:
Brukvalub в сообщении #1000466 писал(а):
Имеется в виду , что при любом варианте раскрытия модулей выражение $$11x+4\left|x-a+3\right|+2\left|3x+a-5\right|$$ превращается в возрастающую линейную функцию.

raizak в сообщении #1000496 писал(а):
Или это справедливо только для монотонных функций?
Да, только. Если не накладывать дополнительно каких-нибудь специфических ограничений.

raizak в сообщении #1000496 писал(а):
Неужели даже теоремы никакой, даже следствия не найдется?

Сильно вряд ли. Ибо вот формальное доказательство: если в точке $b$ (т.е. хотя бы в одной из точек $[a;b]$) неравенство нарушается, то $[a;b]$ не содержится целиком в решении; если в точке $b$ это неравенство выполняется, то в силу монотонности оно тем более выполняется и в остальных точках $[a;b]$. И что, неужели ради этой банальщины надо заводить специальную теорему, или повторять эти заклинания при решении каждой очередной задачи?... Они просто подразумеваются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 15:27 


04/03/15

24
provincialka,ewert, в принципе, да, убедили. Это я что-то того...

Итак, снова резюмирую, $3x^5$ -- возрастающая функция; кубический корень из $4x+5$ -- возрастающая функция;
остальная часть выражения -- кусочно-линейная функция, при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ положителен, значит эта функция тоже возрастающая. Сумма возрастающих функций -- возрастающая функция. Дальше мои рассуждения относительно $x=-1$. И только в этом случае я могу справедливо дать ответ $a \in [-7/3;31/3]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 15:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да, ровно так, с одним уточнением: формально для обоснования монотонности кусочно-линейной функции недостаточно только её монотонности на отдельных кусках, нужно ещё сослаться на её непрерывность. Правда, не знаю, употребительны ли в школе слова "непрерывная функция", или это допзаклинание тоже подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 15:49 


19/05/10

3940
Россия
raizak в сообщении #1000512 писал(а):
...остальная часть выражения -- кусочно-линейная функция, при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ положителен...
Вот здесь будут сняты баллы, с формулировкой "где раскрытия? все раскрытия"

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 16:36 


04/03/15

24
mihailm в сообщении #1000528 писал(а):
Вот здесь будут сняты баллы, с формулировкой "где раскрытия? все раскрытия"

Безусловно во время самого экзамена я все распишу досконально, не забуду про каждый минус и плюс. Это сейчас я позволяю себе некоторые фривольности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group