Коэрцитивная функция

[Otta]

Ward в сообщении #1000469 писал(а):

Вроде с этим вопросом разобрались?

Формально -нет. Чтобы понять почему, напишите определение того предела, которое я просила постом выше.
А неформально это сразу было понятно.

Ward в сообщении #1000469 писал(а):

Берут ведь произвольную точку $z\in G$. Как получают, что $f(x)>f(z)$ для всех $x\in G\backslash G_{\varepsilon}$

Это то же самое определение, только Вы его не признали. Вы там букву эпсилон впереди замените на какую-либо другую, Вам она здорово мешает воспринимать мир.

[ewert]

Не хочу встревать в обсуждение технических деталей, но хочу заметить, что оформлено исходное доказательство довольно неуклюже. Слишком много и слишком конкретных эпсилонов, в глазах рябит. А надо было просто взять какое-нибудь число $m$, большее значения функции в какой-нибудь внутренней точке $x_0$ (не важно какой), и выбрать по нему два числа $\varepsilon$ и $M$ так, чтобы из $\operatorname{dist}(x, \partial G)<\varepsilon$ или $|x|>M$ следовало бы $f(x)>m$. Тогда точка $x_0$ содержится в множестве $G_{\varepsilon}=\{x\in G:\; \operatorname{dist}(x, \partial G) \geqslant \varepsilon, |x|\leqslant M\}$ (поскольку заведомо не содержится в его дополнении). Поэтому минимальное значение функции на множестве $G_{\varepsilon}$ (которое и впрямь достигается в силу компактности последнего) заведомо не превосходит $m$ и, следовательно, является минимальным и для всего $G$.