Не хочу встревать в обсуждение технических деталей, но хочу заметить, что оформлено исходное доказательство довольно неуклюже. Слишком много и слишком конкретных эпсилонов, в глазах рябит. А надо было просто взять какое-нибудь число

, большее значения функции в какой-нибудь внутренней точке

(не важно какой), и выбрать по нему
два числа

и

так, чтобы из

или

следовало бы

. Тогда точка

содержится в множестве

(поскольку заведомо не содержится в его дополнении). Поэтому минимальное значение функции на множестве

(которое и впрямь достигается в силу компактности последнего) заведомо не превосходит

и, следовательно, является минимальным и для всего

.