Афинная связность

[Моревна]

Привет!
Есть задание: Найти левоинвариантную афинную связность для группы Гейзенберга.
Есть вопрос: при - связности всегда тензор кручения равен минус скобки Ли, а тензор кривизны ноль?
Дело в том, что при минус связности L(X,Y)=0, и из определения тензора кривизны и кручения так и следует. Но когда я смотрю общую формулу связывающую левоинвариантную связность и билинейную форму L, и при L(X,Y)=0 считаю для мой группы Гейзенберга, ноль там не получается.

Буду рада получить совет или ссылку на литературу.

(простите за туманные объяснения, не знаю как здесь набирать формулы)

[/math]

[Jnrty]

Моревна писал(а):

(простите за туманные объяснения, не знаю как здесь набирать формулы)

По правилам форума, для набора формул нужно использовать \TeX. Прочтите для начала http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355. Коды формул можно посмотреть, наведя на формулу курсор мыши.

[Моревна]

А где его скачать?

[AD]

Моревна писал(а):

А где его скачать?

vpx9000 писал(а):

к сожалению, у меня нет TeХ'а

И т. д.
По-моему, это уже стало FAQом, поэтому предлагаю подчеркнуть ответ большими буквами на всех страницах форума:
КАЧАТЬ НИЧЕГО НЕ НУЖНО!!!
Просто пишите формулы по правилам $\TeX$а, окружаете их долларами - и они сами преобразуются в картинки.

[Brukvalub]

Моревна писал(а):

Но когда я смотрю общую формулу связывающую левоинвариантную связность и билинейную форму L, и при L(X,Y)=0 считаю для мой группы Гейзенберга, ноль там не получается.

Хорошо бы на выкладки посмотреть, а иначе как помочь найти ошибку?

[Моревна]

Формула связывающая левоинвариантную связность и билинейную форму $\alpha: g*g \mapsto g$ :

$\nabla _xY=f^ig^j \alpha (X_i,X_j)+X(g^j)X_j$ (1)
где
$X_i$базис алгебры Ли
$X,Y\in g$
$X=f^iX_i; Y=g^jX_j$

- связность $\alpha=0$
По (1) имеем$\nabla _xY=X(g^j)X_j$ (2)
но в тоже время $\alpha(X,Y)=\nabla _xY$ для $X,Y\in g$

Тензор кручения
$S(X,Y)=\nabla _xY-\nabla _yX-[X,Y]=-[X,Y]$

Тензор кривизны
$R(X,Y)Z=\nabla_x\nabla_yZ-\nabla_y\nabla_xZ-\nabla_[X,Y]Z=\alpha(X,\alpha(Y,Z))-\alpha(Y,\alpha(X,Z))-\alpha([X,Y],Z)=0$

Получаем для $X,Y,Z\in g$

$S(X,Y)=-[X,Y]$ $ R(X,Y)Z=0$

Группа Гейзнберга - группа матриц $ \left( \begin{array}{cccc} 1 & x_1 & x_2 \\ 0 & 1 & x_3\\0&0&1 \end{array} \right)$

Представитель алгебры Ли $ \left (\begin{array}{cccc} 0 & s_1 & s_2+x_1s_3 \\ 0 & 0 & s_3\\0&0&0 \end{array} \right)$
в произвольной точке $ \left( \begin{array}{cccc} 1 & x_1 & x_2 \\ 0 & 1 & x_3\\0&0&1 \end{array} \right)$ этой группы порожденный вектором $ \left( \begin{array}{cccc} 0 & s_1 & s_2 \\ 0 & 0 & s_3\\0&0&0 \end{array} \right)$

Когда считаю по формуле 2, то ноль для

$\nabla _xY$ и $\nabla _yX$

не получаю.

Видимо степень непонимания у меня очень высока

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

догадка

Возможно, я просто не понимаю как это правильно делать. Из литературы, только записи преподавателя.
Если есть по этому поводу литература, буду очень благодарна.

[Brukvalub]

Моревна писал(а):

Формула связывающая левоинвариантную связность и билинейную форму $\alpha: g*g \mapsto g$ :

Уже в этой фразе многое для меня требует уточнений. Левоинвариантная связность на чем? Какая именно билинейная форма? Вы просто вырвали кусок из текста, опустив все исходные данные и договоренности об обозначениях. Кроме того, я просил Вас привести именно Ваши выкладки, а не куски теории, Вы же по-прежнему пишите:

Моревна писал(а):

Когда считаю по формуле 2, то ноль для
$\nabla _xY$ и $\nabla _yX$
не получаю.

Видимо, предполагается, что читающий угадает, где в Ваших расчетах ошибка, и есть ли она вообще. В таком варианте общения я могу только посоветовать Вам почитать книгу:http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/7ad8231c215b1b847859c708a0afb525.djvu

[Моревна]

Левоинвариантные векторные поля

$X= \left( \begin{array}{ccс} 0 & s_1 & s_2+xs_3 \\ 0&0&s_3 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$[/math]

$Y= \left( \begin{array}{ccс} 0 & p_1 & p_2+xp_3 \\ 0&0&p_3 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$[/math]

Базис алгебры Ли

$X_1= \left( \begin{array}{ccс} 0 & 1 & 0 \\ 0&0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$[/math]

$X_2= \left( \begin{array}{ccс} 0 & 0 & 1 \\ 0&0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$[/math]


$X_3= \left( \begin{array}{ccс} 0 & 0 & 0 \\ 0&0&1 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$[/math]


$\nabla_xY= \left( \begin{array}{ccс} 0 & s_1 & s_2+p_1s_3 \\ 0&0&s_3 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)*\left( \begin{array}{ccс} 0 & 1 & 0 \\ 0&0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccс} 0 & s_1 & s_2+(p_2+xp_3)s_3 \\ 0&0&s_3 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)*\left( \begin{array}{ccс} 0 & 0 & 1 \\ 0&0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccс} 0 & s_1 & s_2+p_3s_3 \\ 0&0&s_3 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)*\left( \begin{array}{ccс} 0 & 0 & 0 \\ 0&0&1 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccс} 0 & 0 & s_1 \\ 0&0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$


$\nabla_xY=\left( \begin{array}{ccс} 0 & 0 & s_1 \\ 0&0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$

$\nabla_yX=\left( \begin{array}{ccс} 0 & 0 & p_1 \\ 0&0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array} \right)$

Добавлено спустя 12 минут 56 секунд:

О теории

Левоинвариантная аффинная связность на группе Ли. т.е. на группе Гейзенберга являющейся группой Ли.
Есть теорема, которая говорит, что:
Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством левоинвариантных аффинных связностей на группе Ли и множеством билинейных форм $\alpha:g*g\to g$ на ее алгебре Ли g со значениями в g.

В доказательсте теоремы, честно, путаюсь.
Но понимаю, что поиск производим именно так.

[Brukvalub]

Мне непонятна сумма в правой части записи

Моревна писал(а):

$\nabla _xY=X(g^j)X_j$ (2)

[Моревна]

Я думала, что надо подставлять в X элементы $g^j$, полученные в разложении $Y=g^jX_J$. (В моих выкладках именно так и сделано).
Ответить на данный вопрос затрудняюсь, понимаю, что делаю не так как надо.


Дело в том, что в той теореме о которой я говорила, данна формула вводилась так: определим оператор \nabla и далее формула

$\nabla _xY=f^ig^j\alpha (X_i,X_j)+f^iX_i(g^j)X_j$

[Brukvalub]

Становится все интереснее. Как говорится, найдите отличия:

Моревна писал(а):

Формула связывающая левоинвариантную связность и билинейную форму $\alpha: g*g \mapsto g$ :

$\nabla _xY=f^ig^j \alpha (X_i,X_j)+X(g^j)X_j$ (1)

Затем

Моревна писал(а):

Дело в том, что в той теореме о которой я говорила, данна формула вводилась так: определим оператор \nabla и далее формула

$\nabla _xY=f^ig^j\alpha (X_i,X_j)+f^iX_i(g^j)X_j$

Так какая же из формул - правильная?

[Моревна]

Это одно и то же, см. "В нормальном виде"

Ведь $X=f^iX_j$
$X_j$- базис алгебры Ли

[Brukvalub]

Моревна писал(а):

Это одно и то же, см. "В нормальном виде"

Ведь $X=f^iX_j$
$X_j$- базис алгебры Ли

Теперь сверху и снизу разные индексы Думаю, что нужно уточнить именно то место, на которое я указал выше:

Brukvalub писал(а):

Мне непонятна сумма в правой части записи
Моревна писал(а):
$\nabla _xY=X(g^j)X_j$ (2)

[Моревна]

Ошиблась в индексах $X=f^iX_i$

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

[quote="Моревна"]Я думала, что надо подставлять в X элементы $g^j$, полученные в разложении $Y=g^jX_J$. (В моих выкладках именно так и сделано).
Ответить на данный вопрос затрудняюсь, понимаю, что делаю не так как надо.