Образ ограниченного оператора

[Comrade]

Пусть $X,Y$ - банаховы пространства. $T \in B(X,Y)$, $imT$ - нетощее ($int~ cl ~imT \ne \varnothing$).
Доказать, что $imT$ - замкнут.

Первое, что заинтересовало, это рассмотреть график оператора. По теореме о замкнутом графике он действительно замкнут, но из этого, как оказалось, не следует замкнутость образа. Да ещё второе условие не использовалось. Тупик.
Укажите, пожалуйста, направление рассуждений.

[Red_Herring]

Явная ошибка в формулировке: что такое $imT$? кстати?

[Comrade]

Red_Herring
$imT$ - образ оператора. А где ошибка?

[Red_Herring]

Ошибка в том, что может быть что образ $T$ плотен в $Y$, но не совпадает с $Y$. Возможны разные правильные формулировки, например если речь идет об образе единичного шара, а не всего $X$, но Ваша ошибочна

[AGu]

Comrade, у Вас там на самом деле два утверждения — одно верное и одно неверное. («Тощее» и «нигде не плотное» — это разные понятия.) Если убрать то, что Вы написали в скобках, то получится верное утверждение.

Кстати, справедливо существенно более сильное утверждение. Найдите теорему об открытом отображении, например, в «Функциональном анализе» Рудина, она там приведена в сильной форме.

[Comrade]

AGu
Точно, какой позор! Всё-таки вредно пытаться делать домашние по функану ночью-утром.
Спасибо.