2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Образ ограниченного оператора
Сообщение05.04.2015, 04:54 
Пусть $X,Y$ - банаховы пространства. $T \in B(X,Y)$, $imT$ - нетощее ($int~ cl ~imT \ne \varnothing$).
Доказать, что $imT$ - замкнут.

Первое, что заинтересовало, это рассмотреть график оператора. По теореме о замкнутом графике он действительно замкнут, но из этого, как оказалось, не следует замкнутость образа. Да ещё второе условие не использовалось. Тупик. :oops:
Укажите, пожалуйста, направление рассуждений.

 
 
 
 Re: Образ ограниченного оператора
Сообщение05.04.2015, 05:09 
Аватара пользователя
Явная ошибка в формулировке: что такое $imT$? кстати?

 
 
 
 Re: Образ ограниченного оператора
Сообщение05.04.2015, 05:19 
Red_Herring
$imT$ - образ оператора. А где ошибка?

 
 
 
 Re: Образ ограниченного оператора
Сообщение05.04.2015, 05:24 
Аватара пользователя
Ошибка в том, что может быть что образ $T$ плотен в $Y$, но не совпадает с $Y$. Возможны разные правильные формулировки, например если речь идет об образе единичного шара, а не всего $X$, но Ваша ошибочна

 
 
 
 Re: Образ ограниченного оператора
Сообщение05.04.2015, 06:11 
Comrade, у Вас там на самом деле два утверждения — одно верное и одно неверное. :-) («Тощее» и «нигде не плотное» — это разные понятия.) Если убрать то, что Вы написали в скобках, то получится верное утверждение.

Кстати, справедливо существенно более сильное утверждение. Найдите теорему об открытом отображении, например, в «Функциональном анализе» Рудина, она там приведена в сильной форме.

 
 
 
 Re: Образ ограниченного оператора
Сообщение05.04.2015, 06:27 
AGu
Точно, какой позор! :oops: Всё-таки вредно пытаться делать домашние по функану ночью-утром.
Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group