Comrade, у Вас там на самом деле два утверждения — одно верное и одно неверное.

(«Тощее» и «нигде не плотное» — это разные понятия.) Если убрать то, что Вы написали в скобках, то получится верное утверждение.
Кстати, справедливо существенно более сильное утверждение. Найдите теорему об открытом отображении, например, в «Функциональном анализе» Рудина, она там приведена в сильной форме.