Задача по теории рассеяния

[Kirill_Sal]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Один специалист по теории рассеяния посоветовал мне следующую задачу: рассмотреть аналитические свойства амплитуды в поле

$U(r)=a/(b^2+r^2)$

Не было бы печали, если бы он не пообещал мне, что задача обещает быть очень-очень хитрой (скорее для меня, конечно, чем для него). Приведу то, что я сумел надумать.
Отличие от поля

$U(r)=a/r^2$

заключается в том, что появляются дискретные уровни энергии. Точно решить эту задачу видимо не представляется возможным. Для получения физической картины достаточно рассмотреть случай

$b>>1$, $a=1$ (потенциальный "горб" малой глубины).

В этом случае будет только один дискретный уровень. Для простоты будем рассматривать $s$-рассеяние ($l=0$). Случай $b>>1$ для данного поля будет соответствовать Борновскому приближению, в котором для фазового сдвига $s$-рассеяния будет справедлива формула

$\delta_{0}=-(m\pi/\hbar^2)\int_{0}^{\infty} U(r)J_{1/2}^2(kr)r dr$ (вывод см.ЛЛ3, задача 4 к &126)

Парциальная амплитуда с $l=0$ равна

$f_{0}=(1/2ik)(\exp(2i\delta_{0})-1)\approx\delta_{0}/k$

Я получил:

$f_{0}=(m\pi/4ak\hbar^2)(\exp(-2a|k|)-1)$

(модуль появился из формулы для интеграла Лапласа). Дальше идет стандартная операция: рассматриваем амплитуду как функцию от комплексной переменной $E$ и продолжаем $f_{0}$ на весь физический лист; в нуле у нас никаких гадостей не происходит, в единственном дискретном уровне $E_{0}$ - полюс слева от мнимой полуоси, причем близкий к $0$. Можно посчитать вычет, если необходимо. По правде сказать, что делать дальше, я не знаю. Появление в формуле для амплитуды модуля $|k|$ вроде не должно приводить к чему-то особенному, т.к.в знаменателе остается $k$ без модуля, но я не уверен на 100%. Близость дискретного уровня к $0$ - несомненно то, на чем стоит сконцентрировать внимание, но мне не понятно, что именно нужно делать, чтобы вывести какой-то физически интересный рез-т.
Ни в коем случае не прошу никого за меня решать задачу, но буду очень благодарен, если кто-нибудь подскажет мне, куда копать, как и где искать обещанные мне "хитрости".

[Red_Herring]

Параметр $b>0$ в этой задаче абсолютно несущественен (исключая случай когда Вы ищете асимптотику по нему). Действительно, растяжением $r:=br$ этот оператор сводится к нему же с $b=1$ (помноженному на $b^{-2}$). Поскольку $U(r ) = a/(1+r^2) \le a/r^2$ то при $a \le 1/4$ $H_a=-\Delta -U(r )$ вообще не имеет дискретных уровней энергии ($<0$). Мы предполагаем размерность 3, так? При достаточно больших $a$ количество таких уровней будет бесконечно, и они накапливаются к $-0$.

Разница в том, что этот оператор хорошо определен и полуограничен снизу при любых $a$, в то время как при $U(r ) = a/r^2$, $а>1/4$ это не так и оператор следует еще хорошо определить, чтобы он был самосопряженным

[Kirill_Sal]

Red_Herring
Он может и не существенен, но при произвольном $b$ задачу решить сложно, да и для физической картины случая $b>>1$ вполне достаточно.
Кстати да, про критерий $1/4$ я забыл. Но с рассмотрением картиры при $a$ справа и слева от $1/4$ - это другая задача. Я рассматриваю случай $a>1/4$, в которой есть дискретные уровни.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #1000236 писал(а):

Он может и не существенен, но при произвольном $b$ задачу решить сложно, да и для физической картины случая $b>>1$ вполне достаточно.

Поскольку $b$ можно избавиться, то сложность одна и та же при любом $b\ne 0$. Поэтому можно считать что $b=1$. А вот $a$ существенен.

[Kirill_Sal]

Какой syntax error?
Так в общем виде уравнение Шредингера с произвольным $b$ решать сложно. А если $b>>1$, то потенциальную энергию можно считать возмущением, - приближение Борна.

-- 05.04.2015, 00:40 --

Параметр $b$ все-таки определяет глубину горба. Зафиксируем $a$ и будем увеличивать $b$ - горб будет становиться ниже. Разве нет?
Впрочем, ключевой вопрос не в величине параметров.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #1000243 писал(а):

А если $b>>1$, то потенциальную энергию можно считать возмущением, - приближение Борна.

Ну как хотите: только Вам уже объяснили, что этот параметр несущественен. Если простая замена переменных для Вас не аргумент… В рассеянии для этого оператора основную роль играет регион $r\gg b$

[Kirill_Sal]

Хорошо, наверное, Вы правы и я к концу дня просто не соображаю и путаюсь в простой арифметике. Тем не менее, говоря на простом русском языке, потенциальный горб может быть "высоким", в котором много дискретных уровней, а может быть "низким", в котором уровень всего один. Я хочу рассмотреть "низкий" горб и для него будет справедлива формула Борна. Так правильно?
В рассеяние для нас важны только асимптотики на бесконечности. Во всяком случае, так ставится задача для нерелятивистских частиц в ЛЛ3.

[Red_Herring]

Какя формула Борна? Приведите, пожалуйста

Это было бы правильно если бы потенциал убывал бы быстрее чем $r^{-2}$, скажем как $r^{-2-\delta}$ с $\delta>0$

[Kirill_Sal]

Я оговорился. Не формула, а приближение. Формула Борна - это простое выражение для амплитуды рассеяния в случае, когда внешнее поле можно рассматривать как возмущение, т.е.когда

$|U|<<\hbar^2/mr_{0}^2$, где $r_{0}$ - "радиус действия" поля.

Приближение Борна - это, соответственно, решение задачи рассеяния для полей, удовлетворяющих вышеуказанному условию. Нас в этой задаче интересует не полная амплитуда, а парциальная для $l=0$. Она равна

$f_{0}=(1/2ik)(\exp(2i\delta_{0})-1), где $, где $\delta_0$ - фазовый сдвиг радиальной волновой функции.

Для фазового сдвига в Борновском приближение выведена формула, которую я уже приводил выше вместе со ссылкой на книгу ЛЛ.

[amon]

Посмотрите задачу 5 после параграфа 126 ЛЛ т.3. В Вашем случае никакого Борновского приближения не будет - интегралы разойдутся. Потенциал переписывается как

$$U(r)=\frac{a}{b^2+r^2}=\frac{a}{b^2}\frac{1}{1+\frac{r^2}{b^2}}=\frac{a'}{1+r'^2}$$

[Kirill_Sal]

У меня интегралы не разошлись. Могу привести выкладки.
P.S. Здравствуйте, старший коллега.

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1000279 писал(а):

У меня интегралы не разошлись.

Значит, ошибаетесь либо Вы, либо Ландау. Как Вы думаете, на кого я поставлю?

[Kirill_Sal]

О каких именно интегралах Вы говорите? Фазовый сдвиг для $l=0$ НЕ разошелся. Кстати, соглашусь, что это странно. Тем более, что в задаче 5 &126 ЛЛ указывается, что для поля с n>2 существенны фазы с большими $l$. И если мое решение верно, то становится понятным, что гадости происходят именно в случае $n=2$.
А то, что полное сечение будет бесконечным, так это не удивительно. И, кстати, не интересно.

-- 05.04.2015, 01:41 --

Я не настаиваю в данный момент на 100% корректности Борна в этом случае. Но расходимость сечения не показатель; в задаче нужно исследовать аналитические свойства амплитуды.
К слову сказать, для $U(r)=a/r^2$ сечение будет бесконечным при точном решении задачи без всяких приближений. А вот гадости с амплитудой при изменении знака $a$ - это то, что вполне можно и нужно исследовать.

[Kirill_Sal]

Кстати, еще одно допущение я сделал слишком поспешно. Для фазового сдвига я получил формулу

$\delta_{0}=(2m\pi/4b\hbar^2)(\exp(-2b|k|)-1)$

Теперь для того, чтобы положить

$f_{0}=(1/2ik)(\exp(2i\delta_{0})-1)\approx\delta_{0}/k$,

необходимо, чтобы $\delta_{0}<<1$. Условия $b>>1$ для этого не достаточно, т.к.при стремлении $|k|$ к нулю $|k|b$ также стремится к нулю, при этом предел $\delta_{0}$ конечен и не является малой величиной. В общем случае, в моем варианте решения получается формула

$f_{0}=(1/2ik)(e^{(im\pi/b\hbar^2)(e^{-2ib|k|}-1})-1)$

Исследовать ее сложнее, но вопрос о поиске хитростей остается открытым: необходимо понимать, куда копать. Я пока без идей.

[Red_Herring]

Заметим, что избавление от $b$ (т.е. $b\mapsto 1$ через замену переменных) означает что $k\mapsto k/b$ (т.е. становится малым).

Но, опять таки: отрицательные собственные значения появляются не сразу, а только при $a> c_0$. Чтобы разобраться подробнее, заметим, что сначала при увеличении $a$ от $0$ появятся с.з. соответствующие $l=0$ (для $U_0=a/r^2$ они появятся при $а> 1/4$, a другие—при $a>l^2+1/4$). Но согласно принципу Бирмана-Швингера число таких с.з. равно числу с.з. $\alpha$:

$$ -\Delta u = \alpha /(1+r^2)u $$

с $\alpha \in (0,a)$. В сферических координатах ($l=0$)

$$ -v'' = \alpha /(1+r^2)v. $$

Тут надо еще использовать якобиан замены. Теперь, вводя $r=e^t$ получим

$$ -( e^{-t} v' )'= \alpha e^t /(1+e^{2t})v $$

или подставляя $v=e^{t/2}w$

$$ - w'' +\frac{1}[4}w= \alpha w (1+e^{-t}). $$

И теперь ясно, что таких с.з. с $\alpha \le 1/4$ нет вообще, а с $\alpha \in (1/4,1/4+\delta)$ их бесконечно много.