2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 13:03 
Аватара пользователя


05/12/09
308
Пусть $EX=0$, $DX=1$, $X_1,X_2,X_3$ распределены как $X$ и независимы, $E\max(X_1,X_2)=c\in [0,1/\sqrt{3}]$ (других $c$ тут не бывает). Найти верхнюю границу для $E\max(X_1,X_2,X_3)$.

С помощью неравенства Коши-Буняковского и с помощью вариационного исчисления получается одна и та же граница $(3c+\sqrt{(1-3c^2)/5})/2$. Но экстремаль не всегда имеет вероятностный смысл, так что граница явно не точная. Она плоха тем, что при $c\to 0$ нет стремления к нулю, которое по-видимому, должно иметь место. Как бы еще оценить эту границу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 17:05 
Заслуженный участник


03/01/09
1182
москва
$\max (x_1,x_2)=\dfrac {x_1+x_2}2+\dfrac {|x_1-x_2|}2\qquad (1)$, следовательно, $c=E\max (x_1,x_2)=\frac 12E|x_1-x_2|$.
Очевидно $\max (x_1,x_2,x_3)$ можно, используя формулу (1), записать как: $$\max (\max (x_1,x_2),\max (x_1,x_3))=
\dfrac {2x_1+x_2+x_3+|x_1-x_2|+|x_1-x_3|}4+\dfrac {|x_2-x_3+|x_1-x_2|-|x_1-x_3||}4$$Учтем также неравенство $|x_2-x_3+|x_1-x_2|-|x_1-x_3||\leqslant |x_2-x_3|+|x_1-x_2|+|x_1-x_3|$. В результате (т.к. все $Ex_i=0$)получим верхнюю оценку: $$E\max (x_1,x_2,x_3)\leqslant \frac 52c$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 18:22 
Аватара пользователя


05/12/09
308
Замечательно. Но тогда наверное лучше записать:
$$\max(x_1,x_2,x_3)=\frac{\max(x_1,x_2)+x_3}{2}+\frac{|\max(x_1,x_2)-x_3|}{2}$$
и
$$|\max(x_1,x_2)-x_3|=\left|\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{|x_1-x_2|}{2}-x_3\right|\le 
\frac{|x_1-x_3|+|x_2-x_3|+|x_1-x_2|}{2}$$,
откуда
$$E\max(x_1,x_2,x_3)\le 2c.$$
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 18:39 
Заслуженный участник


03/01/09
1182
москва
Да, все верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group