Граница среднего максимума при условиях

[alisa-lebovski]

Пусть $EX=0$, $DX=1$, $X_1,X_2,X_3$ распределены как $X$ и независимы, $E\max(X_1,X_2)=c\in [0,1/\sqrt{3}]$ (других $c$ тут не бывает). Найти верхнюю границу для $E\max(X_1,X_2,X_3)$.

С помощью неравенства Коши-Буняковского и с помощью вариационного исчисления получается одна и та же граница $(3c+\sqrt{(1-3c^2)/5})/2$. Но экстремаль не всегда имеет вероятностный смысл, так что граница явно не точная. Она плоха тем, что при $c\to 0$ нет стремления к нулю, которое по-видимому, должно иметь место. Как бы еще оценить эту границу?

[mihiv]

$\max (x_1,x_2)=\dfrac {x_1+x_2}2+\dfrac {|x_1-x_2|}2\qquad (1)$, следовательно, $c=E\max (x_1,x_2)=\frac 12E|x_1-x_2|$.
Очевидно $\max (x_1,x_2,x_3)$ можно, используя формулу (1), записать как:

$$\max (\max (x_1,x_2),\max (x_1,x_3))= \dfrac {2x_1+x_2+x_3+|x_1-x_2|+|x_1-x_3|}4+\dfrac {|x_2-x_3+|x_1-x_2|-|x_1-x_3||}4$$

Учтем также неравенство $|x_2-x_3+|x_1-x_2|-|x_1-x_3||\leqslant |x_2-x_3|+|x_1-x_2|+|x_1-x_3|$. В результате (т.к. все $Ex_i=0$)получим верхнюю оценку:

$$E\max (x_1,x_2,x_3)\leqslant \frac 52c$$

[alisa-lebovski]

Замечательно. Но тогда наверное лучше записать:

$$\max(x_1,x_2,x_3)=\frac{\max(x_1,x_2)+x_3}{2}+\frac{|\max(x_1,x_2)-x_3|}{2}$$

и

$$|\max(x_1,x_2)-x_3|=\left|\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{|x_1-x_2|}{2}-x_3\right|\le \frac{|x_1-x_3|+|x_2-x_3|+|x_1-x_2|}{2}$$

,
откуда

$$E\max(x_1,x_2,x_3)\le 2c.$$

Правильно?

[mihiv]

Да, все верно.