2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 13:03 
Аватара пользователя
Пусть $EX=0$, $DX=1$, $X_1,X_2,X_3$ распределены как $X$ и независимы, $E\max(X_1,X_2)=c\in [0,1/\sqrt{3}]$ (других $c$ тут не бывает). Найти верхнюю границу для $E\max(X_1,X_2,X_3)$.

С помощью неравенства Коши-Буняковского и с помощью вариационного исчисления получается одна и та же граница $(3c+\sqrt{(1-3c^2)/5})/2$. Но экстремаль не всегда имеет вероятностный смысл, так что граница явно не точная. Она плоха тем, что при $c\to 0$ нет стремления к нулю, которое по-видимому, должно иметь место. Как бы еще оценить эту границу?

 
 
 
 Re: Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 17:05 
$\max (x_1,x_2)=\dfrac {x_1+x_2}2+\dfrac {|x_1-x_2|}2\qquad (1)$, следовательно, $c=E\max (x_1,x_2)=\frac 12E|x_1-x_2|$.
Очевидно $\max (x_1,x_2,x_3)$ можно, используя формулу (1), записать как: $$\max (\max (x_1,x_2),\max (x_1,x_3))=
\dfrac {2x_1+x_2+x_3+|x_1-x_2|+|x_1-x_3|}4+\dfrac {|x_2-x_3+|x_1-x_2|-|x_1-x_3||}4$$Учтем также неравенство $|x_2-x_3+|x_1-x_2|-|x_1-x_3||\leqslant |x_2-x_3|+|x_1-x_2|+|x_1-x_3|$. В результате (т.к. все $Ex_i=0$)получим верхнюю оценку: $$E\max (x_1,x_2,x_3)\leqslant \frac 52c$$

 
 
 
 Re: Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 18:22 
Аватара пользователя
Замечательно. Но тогда наверное лучше записать:
$$\max(x_1,x_2,x_3)=\frac{\max(x_1,x_2)+x_3}{2}+\frac{|\max(x_1,x_2)-x_3|}{2}$$
и
$$|\max(x_1,x_2)-x_3|=\left|\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{|x_1-x_2|}{2}-x_3\right|\le 
\frac{|x_1-x_3|+|x_2-x_3|+|x_1-x_2|}{2}$$,
откуда
$$E\max(x_1,x_2,x_3)\le 2c.$$
Правильно?

 
 
 
 Re: Граница среднего максимума при условиях
Сообщение04.04.2015, 18:39 
Да, все верно.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group