2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 14:22 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
На основании эмпирических данных приведённых в таблице (1) выдвигаются следующие гипотезы:

a)
$S_k\sim \left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor, k\rightarrow \infty $
что равносильно утверждению
$\lim_{k\rightarrow \infty } \frac{\left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor}{S_k}=1$
где,
$S_k$ - совершенное число с индексом $k$ (A000396)
$n=\sigma _0(S_k)-1$ - количество собственных делителей $S_k$ (A133033)
$\sigma _0(S_k)$ - функция делителей
$\zeta (n)=\zeta (\sigma _0(S_k)-1)$ - дзета-функция от количества
собственных делителей $S_k$
Изображение

b)
Верхний и нижний предел $k$-го совершенного числа
$\left \lfloor \frac{\zeta (n)-\frac{1}{n}}{\zeta (n)-1} \right \rfloor<S_k\leqslant \left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor, k\neq 1$

c) Пусть $S_k$ - совершенное число и $k>1$, тогда существуют такие $n$ и $m$ $\in \mathbb{N}_0
$, что $S_k=\left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor-m\, причём $n=\sigma _0(S_k)-1$ - количество собственных делителей $S_k$, выполняется неравенство $\frac{m}{S_k}<0.005$ и существует предел $\lim_{k\rightarrow \infty }\frac{m}{S_k}=0$

d) Из a) и $\lim_{n\rightarrow \infty }{\left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor}=\infty $ - бесконечность совершенных чисел, и, как следствие,бесконечность простых чисел Мерсенна (A000668), а также связь асимптотики последних с дзета-функцией.

Таблица 1.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 16:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Очередная бессмысленная тема, типичный кандидат в "Пургаторий".

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 17:24 


23/02/12
3112
nnosipov в сообщении #1041469 писал(а):
Очередная бессмысленная тема, типичный кандидат в "Пургаторий".

А можно конкретнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 17:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Утверждение о том, что $2^{l-1}(2^l-1) \sim \zeta(2l-1)/(\zeta(2l-1)-1)$ при $l \to \infty$, не тянет на дискуссионность. Совершенные числа притянуты за уши. В общем, чушь, вполне характерная для данного автора (достаточно взглянуть на список его тем).

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 18:18 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
nnosipov в сообщении #1041483 писал(а):
Утверждение о том, что $2^{l-1}(2^l-1) \sim \zeta(2l-1)/(\zeta(2l-1)-1)$ при $l \to \infty$, не тянет на дискуссионность.
Смотрите внимательней и не путайте показатель простого числа Мерсенна A000043 с количеством собственных делителей совершенного числа A133033.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 18:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Я и не путаю: если число $S_k=2^{l-1}(2^l-1)$ совершенно, то число его делителей, отличных от него самого, равно $2l-1$. Это и есть Ваше $n$.

Обсуждать нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 18:41 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
nnosipov в сообщении #1041483 писал(а):
Совершенные числа притянуты за уши. В общем, чушь, вполне характерная для данного автора (достаточно взглянуть на список его тем).
Проверьте, для больших порядковых номеров совершенных чисел такая же картина. И как можно притянуть за уши голый расчёт, когда цифра к цифре падает, и чётко просматривается общая асимптотика.

-- 30.07.2015, 18:42 --

nnosipov в сообщении #1041496 писал(а):
Я и не путаю: если число $S_k=2^{l-1}(2^l-1)$ совершенно, то число его делителей, отличных от него самого, равно $2l-1$. Это и есть Ваше $n$.
Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 21:27 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
Графическое обобщение относительно утверждения a)
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление совершенных чисел через дзета-функцию
Сообщение30.07.2015, 21:46 


20/03/14
12041
Ilya G
Что Вы еще хотите обсуждать? Асимптотика поведения дзета-функции очевидна при аргументе, стремящемся к плюс бесконечности, из нее следует, в частности, что $\dfrac{\zeta(n)}{\zeta(n)-1}\sim 2^n,\;n\to\infty$. Это никакой не "эмпирический" (такие слова здесь в качестве обоснования не принимаются), а легко доказываемый чисто технический результат, обоснование которого очевидно. Придумайте сами.

Совершенные числа и все прочее, как уже было замечено, - это попытка придать результату ненужной весомости. Он в этом не нуждается и становится от этого только хуже.

Тема уходит в Пургаторий в связи с заведомой бессмысленностью обсуждения.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.07.2015, 21:47 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: см. выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group