Доказать полноту в $l_1$

[DinaAnid]

как доказать что данная система векторов полная система в пространстве $l_1$
$\vec{e}_1=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0,0,\dots\right)$
$\vec{e}_2=\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0,0,\dots\right)$
$\vec{e}_3=\left(0,0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0,0,\dots\right)$
............

я знаю что для полноты надо что бы замкнутость $span\{e_n\}$ совпадало со всей $l_1$, тоисть мне надо доказать, что есть такие числы $a_i$, что любой вектор $\vec{x}$ из $l_1$ представляется суммой $\sum_{i=1}^{\infty}{a_ie_i}$, и этот ряд сходится? если да, то как это доказать?

спасибо за помощь

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

DinaAnid
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[demolishka]

Покажите, что в замыкании линейной оболочки ваших векторов содержится стандартный базис $e_n = (0, 0, ...,1, 0, 0,....)$.

[DinaAnid]

спасибо за помощ
извените а немного поконкретнее, как это показать?
если допустим, что
$f_1=\left(1,0,0,\dots\right)$
$f_2=\left(0,1,0,\dots\right)$
...................
стандартый базис

то если я смогу установите связь со стандартным базисом и моимы векторомы $e_n$ это как то поможет?

[sup]

Я бы, на Вашем месте, обратил внимание на тот "странный" факт, что сумма координат у всех векторов $e_n$ равна 0. Это ж-ж-ж неспроста ...

[demolishka]

DinaAnid в сообщении #1016798 писал(а):

если я смогу установите связь со стандартным базисом и моимы векторомы $e_n$ это как то поможет

Если вы умеете приближать элементы системы, то умеете приближать и элементы, которые можно приблизить элементами системы.

Другое дело, кто Вас надоумил на то, что система полная?

[DinaAnid]

мне надо узнать базис ли данная систем в $l_1$, вот и надо проверить полноту, минимальность и то что $\|\sum_{i=1}^{N}{a_ie_i}\|$ ограничен

мне скозали что базис

[demolishka]

Ну сможете ли вы например приблизить вектор $x = (1,0,0...)$ с точностью $\varepsilon$ с помощью линейных комбинаций векторов вашей системы?

[DinaAnid]

кажется нет, немогу найти такое соотношение, выходит это вовсем не базис?

а, если допустим у меня вот такие векторы, и опять надо доказать полноту в $l_1$
$e_1=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{9},\frac{2}{27},\dots\right)$
$e_2\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{9},\frac{2}{27},\dots\right)$
$e_3\left(0,0,\frac{2}{3},\frac{2}{9},\frac{2}{27},\dots\right)$
.......................

и я нашла вот это соотношение между этими векторами и стандартным базисом
$f_k=\frac{3}{2}e_k-\frac{1}{2}e_{k+1}$ , где $f_k=\left(0,0,\dots,1,\dots\right)$ то система $\{e_k\}$ полная в $l_1$?

[demolishka]

DinaAnid в сообщении #1016844 писал(а):

выходит это вовсем не базис?

Да. Но если добавить к исходным векторам вектор $(1,0,0,...)$, то они уже станут образовывать базис.

DinaAnid в сообщении #1016844 писал(а):

и я нашла вот это соотношение между этими векторами и стандартным базисом
$f_k=\frac{3}{2}e_k-\frac{1}{2}e_{k+1}$ , где $f_k=\left(0,0,\dots,1,\dots\right)$ то система $\{e_k\}$ полная в $l_1$?

Да.

[DinaAnid]

выходит первая система не полная, а если взять вторую систему, то система полна

что ж, огромное спасибо Вам