2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение04.02.2015, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Одной сегодняшней темой навеянные мысли помещаю сразу в дискуссионный раздел, ибо речь у нас пойдёт о вещах опасно склонных к набиганию домиков аттракции любителей "наглядно представить себе электрон". Заранее заклинаю означенный товарищей не относиться слишком серьёзно к следующему ниже. Издав же сей заведомо обречённый на игнорирование клич, приступаю к сути.

Возьмём плоское псевдоэвклидово пространство $\mathbb{E}^{2,3}$ и рассмотрим в нём следующую $(1,3)$-поверхность ${\mathbf{r}} = \left\{ {\mathop t\limits^ +  ,\mathop x\limits^ -  ,\mathop y\limits^ -  ,\mathop z\limits^ -  ,\mathop \varphi \limits^ +  } \right\}$, где $\varphi  = \varphi \left( {t,x,y,z} \right)$ и над каждой компонентой записан знак с которым её квадрат входит в интервал пространства $\mathbb{E}^{2,3}$. Взяв в качестве координат $x^\mu   = \left( {t,x,y,z} \right)$, посчитаем на нашей поверхности метрику $g_{\mu \nu }  \equiv \left\langle {{\mathbf{r}}_{,\mu } ,{\mathbf{r}}_{,\nu } } \right\rangle  = \eta _{\mu \nu }  + \varphi _{,\mu } \varphi _{,\nu } $, где $\eta _{\mu \nu }  = \operatorname{diag} \left( { + , - , - , - } \right)$. Нетрудно видеть, что $g^{\mu \nu }  = \eta ^{\eta \nu }  - \dfrac{{\varphi ^{,\mu } \varphi ^{,\nu } }}{{1 + \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha } }}$, где $\varphi ^{,\alpha }  \equiv \eta ^{\alpha \beta } \varphi _{,\beta } $. Откуда легко следует $\left| g \right| = \left| {1 + \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha } } \right|$.

Вот оно-то мне и было надо, потому как сейчас я намерен положить
$$\delta \int {\sqrt {1 + \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha } } } d^4 x = 0$$что даёт
$$\left( {\frac{{\varphi ^{,\mu } }}{{\sqrt {1 + \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha } } }}} \right)_{,\mu }  = 0$$или, раскрыв скобки,
$$\left( {1 + \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha } } \right)\square \varphi  - \varphi ^{,\mu } \varphi ^{,\nu } \varphi _{,\mu \nu }  = 0$$Итак, песочница готова. Прошу играться! :D

Отчётливо вижу плоские волны (удивительно простые как для такого страхолюдища), статическую сферически симметричную "частичку" и в общих чертах представляю как учесть слабое взаимодействие сталкивающихся плоских волн (не ясно, как там со сходимостью).

Хотел бы яснее, но пока очень приблизительно вижу рассеяние плоской волны на "частичке" и взаимодействие двух разнесённых "частичек".

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение04.02.2015, 23:40 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Просто замечание. То, что вы получили (и как вы получили) это вариант довольно известного Dirac-Born-Infield действия, которое получается на бране. Хотя сигнатуру объемлющего все-таки берут с минусом. На что это повлияет сразу не скажу (хотя первая мысль - что со стабильностью получается?) так что поиграться наверное есть с чем, но и подглядывать есть куда

-- 05.02.2015, 00:46 --

Я к тому, что если вы действие разложите в приближении малых $\varphi$, у вас получится кинчлен с плохим знаком. С другой стороны, есть два но. Во-первых, может оказаться, что в мире где есть только это $\varphi$ это ни на что не повлияет (надо смотреть нелинейные эффекты). А во-вторых, пусть даже около $\varphi=0$ нестабильность, около другой конфигурации все может быть хорошо

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение04.02.2015, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я хотел такое придумать, но неудачно. А тут успешно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение04.02.2015, 23:59 
Заслуженный участник


25/12/11
750
хотя не, это я сигнатуру попутал (чтоб их, космологов...) :facepalm:
получается $\simeq +\frac{1}{2}(\dot{\varphi}^2-\partial_i\varphi\partial_i\varphi)$

-- 05.02.2015, 01:01 --

Но вот если я посчитаю гамильтониан
$H=\frac{\dot{\varphi}^2}{\sqrt{1+\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi}}-\sqrt{1+\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi}=\frac{-1+(\partial_i\varphi)^2}{\sqrt{1+\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi}}$
, т.е. знаконеопределенный. Не очень хорошо

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение05.02.2015, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
fizeg в сообщении #973786 писал(а):
Хотя сигнатуру объемлющего все-таки берут с минусом. На что это повлияет сразу не скажу (хотя первая мысль - что со стабильностью получается?)
Например, "частички" разные получаются. Если взять минус, то кишка вытягивается куда-то в дальние края, а для плюса всё компактно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение05.02.2015, 01:15 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Смотрю я снова на гамильтониан... по-моему он все-таки ограничен, да еще и снизу. Так что со стабильностью, даже наверное в квантовом смысле все будет ок

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение05.02.2015, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Подробней о плоских волнах. Если искать решение в виде $\varphi  = \phi \left( {k_\alpha  x^\alpha  } \right)$ с постоянными ${k_\alpha  }$, то получим $k_\alpha  k^\alpha   = 0$ и отсутствие ограничений на функцию $\phi $. Замечу, что это решение точное. Приближённо такая картина справедлива и в общем случае, если только $\varphi $ мало. Действительно, ограничиваясь в$$\left( {1 + \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha } } \right)\square \varphi  - \varphi ^{,\mu } \varphi ^{,\nu } \varphi _{,\mu \nu }  = 0$$линейными членами, получим $\square \varphi \approx 0$. Для того чтобы учесть нелинейные поправки поступим следующим образом:
$$\[
\varphi  = \sqrt \varepsilon  \left( {{}^0\varphi  + {}^1\varphi \varepsilon  + {}^2\varphi \varepsilon ^2  + ...} \right)
\]
 $$где $\varepsilon$ - малая, но конечная положительная величина, а корень квадратный нужен для пущей эстетизации вида рекуррентной последовательности:
$$\[
\begin{gathered}
  \square {}^0\varphi  = 0 \hfill \\
  \square {}^1\varphi  = {}^0\varphi ^{,\mu }  \cdot {}^0\varphi ^{,\nu }  \cdot {}^0\varphi _{,\mu \nu }  \hfill \\
  ... \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$Итак, кто первый решит задачу о лобовом столкновении двух плоских волн конечной ширины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение06.02.2015, 08:34 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Утундрий в сообщении #974194 писал(а):
Если искать решение в виде $\varphi  = \phi \left( {k_\alpha  x^\alpha  } \right)$ с постоянными ${k_\alpha  }$, то получим $k_\alpha  k^\alpha   = 0$ и отсутствие ограничений на функцию $\phi $

Еще одно замечание. Есть еще $\phi=Ak_\alphax^\alpha+B$ с произвольным $k_\alpha$

-- 06.02.2015, 09:37 --

В общем забыл поставить пробел в формуле, а флуд-контроль или что-то вроде этого поправить не дает. Линейная функция от $k_\alpha x^\alpha$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение06.02.2015, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Ну, это неинтересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение06.02.2015, 09:31 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Утундрий
Вы представьте себе, что такое решение представляет с точки зрения объемлющего пространства. Пусть даже вы симметрии в нем и нарушили, ограничив возможные колебания вашей браны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение06.02.2015, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
fizeg в сообщении #974484 писал(а):
что такое решение представляет с точки зрения объемлющего пространства.

Простой сдвиг и поворот отсчётной гиперплоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение09.02.2015, 15:23 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Есть две операции от очерёдности применения которых зависит "смысл жизни, Вселенной и всё такое":

Операция номер один:
$$
X^0(x) = x^0, \; X^1(x) = x^1, \; X^2(x) = x^2, \; X^3(x) = x^3, \; X^4(x) = \varphi(x^0, x^1, x^2, x^3) \eqno(1)
$$
Операция номер два:
$$
\delta \int \sqrt{\det \left[ \eta_{A B} \frac{\partial X^A}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial X^B}{\partial x^{\nu}} \right] } \; d_4 x = 0 \eqno(2)
$$

Вариант 1. Ежели сначала выполнить (1), затем (2), то получим одно уравнение на одну функцию $\varphi(x)$.

Вариант 2. А ежели сначала выполнить (2) [получив пять уравнений на пять функций $X^A(x)$], а потом выполнить анзац (1), то тут бабка на двое сказала удовлетворится ли система из пяти уравнений одной функцией $\varphi(x)$.

Второй вариант сильно неудобен по сравнению с первым вариантом (больше головной боли), но только лишь он имеет геометрическую интерпретацию движения 4-браны в 5-мерном мире.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение09.02.2015, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
SergeyGubanov в сообщении #975849 писал(а):
ежели сначала выполнить (2) [получив пять уравнений на пять функций $X^A(x)$], а потом выполнить анзац (1)

Варьировали без учёта связи, а потом тупо их наложили? Ну, так просто не делают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение09.02.2015, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
...Хм-м-м, теоретицсски не делают, а нельзя ли из этого смастырить расчётный итерационный метод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что
Сообщение09.02.2015, 18:38 
Аватара пользователя


04/06/14
80
Утундрий в сообщении #973772 писал(а):
Итак, песочница готова. Прошу играться! :D

Узковата песочница-то, скучно играться. Почему анти-де Ситтер? Ну хоть бы до конформной группы расширили бы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group