2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 14:30 


27/06/13
36
Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, как решаются такие задания:

Восстановить голоморфную функцию $f\left(z \right)$ по $\arg\left[ f\left(z \right) \right]=\arg z + x^2 - y^2$

В интернете нашел только примеры на нахождение мнимой части по действительной и наоборот.
Пробовал делать по формуле из Википедии:
$$\begin{cases} & \frac{\partial R}{\partial x} = R\frac{\partial \Phi }{\partial y} \\ & \frac{\partial R}{\partial y} = -R\frac{\partial \Phi }{\partial x} \end{cases}$$ (где R - модуль, а $\Phi$ - аргумент функции)
, получил
$$\begin{cases} & \frac{\partial R}{\partial x} = R(x,y)(\frac{x}{x^2+y^2} - 2y) \\ & \frac{\partial R}{\partial y} = R(x,y)(\frac{y}{x^2+y^2} - 2x) \end{cases}$$

дальше затрудняюсь.. Такую систему можно решить непосредственно или такие задания решаются по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1729
Москва
Можно решить непосредственно. Фактически решая эту систему, Вы восстанавливаете $\ln R$ по его полному дифференциалу. Вспомните, как уравнения в полных дифференциалах решаются. Когда через $z$ функцию выразите, ответ будет "хороший".

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 15:18 


27/06/13
36
Спасибо за подсказку, не приходило в голову про логарифм!

Кажется, получается такой ответ? $f(z)=\left|z \right| e^{i\arg(z)+z^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11345
Казань
А нельзя ли свернуть вот это: $f(z)=\left|z \right| e^{i\arg(z)}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:04 


27/06/13
36
Точно, спасибо, перезанимался кажется) $ze^{z^2}$ (забыл i ещё , извиняюсь, и константу, получается - $Aze^{iz^2}$)
Хотел ещё спросить - немного с константами запутался - там не получается ли что при умножении на любую константу ответ подходит тоже (когда восстанавливал lnZ забывал про константы)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11345
Казань
Константа обязательно должна быть, вы же диф. уравнение решаете. Да и по смыслу ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:17 


27/06/13
36
По смыслу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11345
Казань
Если вы нашли одну аналитическую функцию $f(z)$ с заданным аргументом, то и всякая функция $Cf(z), C\in \mathbb R^+$ будет аналитической, и с тем же аргументом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 18:16 


27/06/13
36
Понятно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group