2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 21:27 
Заморожен


17/04/11
420
Попалась элементарнейшая задачка о скорости движения. Решил её двумя способами, но получил при этом различные ответы и не могу понять, почему.

Задача:
Турист ехал 3 часа на автобусе, затем шёл пешком 5 часов со скоростью, в 7 раз меньшей скорости автобуса. Далее турист сел на катер и продолжал движение на нём со скоростью, в 2 раза большей скорости ходьбы. Найти скорость движения туриста на катере, если общий путь составил 150 км.

Решение (вариант 1).
Пусть $V_1$ - скорость движения туриста на автобусе, $V_2$ - его скорость движения пешком и $V_3$ - скорость движения на катере.
Тогда $t_1=3 ч, t_2=5 ч, t_3=4,5 ч$ часа - время движения туриста на автобусе, пешком и на катере; $S_1, S_2, S_3$ - расстояния, пройденные туристом на автобусе, пешком и на катере. $S_T $ - общее расстояние и $S_T=150 $ км.
Пусть $V_1=x$
Имеем:
$V_2 = V_1/7=x/7$; $V_3=2 V_2=2x/7$
Далее:
Поскольку $S=Vt$, имеем:
$S_1=3x; S_2=5x/7; S_3=9x/7$
$S_T=S_1+S_2+S_3= 3x+5x/7+9x/7=5x$
Имеем: $5x=150$
Тогда $x=150/5=30$ км/ч $=V_1$
$V_2=30/7=4\frac{2}{7}$ км/ч
$V_3=2V_2=60/7=8,57$ км/ч

Решение (вариант 2).
Пусть $V_1$ - скорость движения туриста на автобусе, $V_2$ - его скорость движения пешком и $V_3$ - скорость движения на катере.
Тогда $t_1=3 ч, t_2=5 ч, t_3=4,5 ч$ часа - время движения туриста на автобусе, пешком и на катере; $S_1, S_2, S_3$ - расстояния, пройденные туристом на автобусе, пешком и на катере. $S_T $ - общее расстояние и $S_T $=150 км.
$V_2 = V_1/7$; $V_3=2 V_2=2V_1/7$
Средняя скорость $V_{cp}$ может быть найдена, как частное от деления общего пройденного туристом пути на общее время:
$V_{cp}= \frac{S_T}{t_1+t_2+t_3}=\frac{150}{3+5+4,5}=12$ км/ч
Также средняя скорость может быть найдена как среднее арифметическое всех скоростей:
$V_{cp}=\frac{V_1+V_2+V_3}{3}=\frac{V_1+V_1/7+2V_1/7}{3}=\frac{10V_1/7}{3}=\frac{10V_1}{21}$
Тогда $10V_1/21=12$, отсюда $V_1=\frac{252}{10}=25,2$ км
Отсюда имеем: $V_2=25,2/7=3,6$ км/ч
$V_3=2V_2=7,2$ км/ч

Таким образом, в первом случае имеем ответы: $30$ км/ч; $4\frac{2}{7}$ км/ч; $8,57$ км/ч.
Во втором случае: $25,2$ км/ч; $3,6$ км/ч и $7,2$ км/ч. Не могу понять, в каком именно случае допущена ошибка. При этом указанному в условии соотношению скоростей соответствуют оба варианта. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
BENEDIKT в сообщении #968274 писал(а):
Также средняя скорость может быть найдена как среднее арифметическое всех скоростей:

Нет. Не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 21:35 
Заморожен


17/04/11
420
provincialka, тогда ясно, в чём проблема. Но почему она тогда именуется средней скоростью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2825
ФТИ им. Иоффе СПб
BENEDIKT в сообщении #968284 писал(а):
Но почему она тогда именуется средней скоростью?

Не именуется. Средняя скорость - весь пройденный путь, деленный на все затраченное время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
Кто "она"? Средней скоростью именуется общее расстояние/общее время. То, что написали вы, как мне кажется, названия не имеет.

Тут дело вот в чем. Пусть объект движется (по некоторому пути) t часов со скоростью $a$ и столько же по времени со скоростью $b$. Тогда его средняя скорость равна $\dfrac{ta+tb}{t+t} = \dfrac{a+b}{2}$.
Если же объект проходит расстояние $S$ со скоростью $a$ и такое же расстояние со скоростью $b$, то средняя скорость равна $\dfrac{S+S}{S/a+S/b} = \dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}$. Заметьте, что в этом случае средняя скорость равна среднему гармоническому двух других.

Ну, а в вашем случае надо использовать среднее взвешенное

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5558
Москва
А где в условии время движения на катере? В решении используется время 4.5 часа, в условии не указанное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 21:54 
Заморожен


17/04/11
420
Теперь ясно. Благодарю Вас за ответ.

-- Вс янв 25, 2015 22:55:52 --

Евгений Машеров
Вот оно:
BENEDIKT в сообщении #968274 писал(а):
Тогда $t_1=3 ч, t_2=5 ч, t_3=4,5 ч$ часа - время движения туриста на автобусе, пешком и на катере;

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
BENEDIKT
Это вы решение процитировали. А в условии про 4,5 часа ничего не сказано. Я восприняла это как опечатку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение25.01.2015, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5558
Москва
Условие задачи:
BENEDIKT в сообщении #968274 писал(а):
Задача:
Турист ехал 3 часа на автобусе, затем шёл пешком 5 часов со скоростью, в 7 раз меньшей скорости автобуса. Далее турист сел на катер и продолжал движение на нём со скоростью, в 2 раза большей скорости ходьбы. Найти скорость движения туриста на катере, если общий путь составил 150 км.


Оно не полностью воспроизведено, и в задачнике есть и время движения на катере, или Вы самостоятельно дополнили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение28.01.2015, 23:19 
Заморожен


17/04/11
420
Прошу прощения! Я действительно не указал время движения на катере в условии. В задачнике оно было, а я не вполне точно перепечатал задачу. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение29.01.2015, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5558
Москва
BENEDIKT в сообщении #968284 писал(а):
Но почему она тогда именуется средней скоростью?



Вообще средних очень много и разных. С практической точки зрения среднее это то, чем можно заменить в расчётах разные значения элементов усредняемой группы (скажем, общую зарплату на заводе можно получить, суммируя зарплаты всех работников, а можно заменить индивидуальные на среднюю, и тогда вместо суммирования можно обойтись умножением на численность работников). Для скорости разумно считать средней такую скорость, что если бы всё время двигаться с ней, мы бы прошли заданный путь за заданное время (но это не единственный способ - если сила сопротивления воздуха принята квадратичной, то для расчёта среднего расхода топлива может быть более адекватна среднеквадратичная скорость). То есть разделив путь на время - получим привычную нам "среднюю скорость". Просто усреднять скорости на разных отрезках пути бессмысленно, поскольку и это отрезки, и время, за которое они пройдены, различны. Но можно взять взвешенное среднее. Причём, если в качестве весов взять время прохождения участка с данной скоростью, то в результате придём к общепринятой средней скорости. Формально можно взвешивать и длиной пути на соответствующих отрезках, но разумной интерпретации такого "среднего" я не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детская задачка о скорости движения
Сообщение02.02.2015, 00:02 
Заморожен


17/04/11
420
Благодарю Вас за разъяснения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group