2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей
Сообщение25.01.2015, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11244
Казань
ewert Не особо задумывалась над задачей, но у меня возникло подозрение, что характеристический многочлен "нового" уравнения можно получить перемножая характеристические уравнения исходных соотношений. Правда, может получиться не минимальный. Это так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей
Сообщение25.01.2015, 21:18 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
provincialka
Есть. Мне проще будет рекуррентное уравнение степени $k$ записывать в виде $x_{n+k}=f(x_{n+k-1},\ldots, x_{n})$. Введем оператор увеличения индекса, которые действует на последовательность так $Ix_n=x_{n+1}$, $I^2x_n=IIx_n=I x_{n+1}=x_{n+2}$ и т.д. Тогда линейное рекурретное уравнение можно записать в виде $P(I)x_n=0$, где $P(I)=I^k+a_{k-1}I^{k-1}+\ldots+a_1 I+a_0$ -- многочлен с постоянными коэффициентами. Если теперь $x_n$ удовлетворяет уравнению $Px_n=0$, $y_n$ удовлетворяет уравнению $Qy_n=0$, то $z_n=x_n+y_n$ будет удовлетворять уравнению $PQz_n=0$. Для доказательство надо подставить $z_n=x_n+y_n$ и еще учесть, что $PQ=QP$, т.к. это многочлены от одного и того же оператора $I$.

Ну вот, уже все решили )

-- Пн янв 26, 2015 00:23:53 --

provincialka в сообщении #968262 писал(а):
Правда, может получиться не минимальный.


Да, вместо $PQ$ подойдет наименьшее общее кратное $P$ и $Q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей
Сообщение25.01.2015, 21:23 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
provincialka в сообщении #968262 писал(а):
Правда, может получиться не минимальный. Это так?

Вот чего не думал, о том не задумывался. Хотя минимальным он быть, естественно, не обязан, т.к. корни могут и совпадать. Ну взять хотя бы два одинаковых рекуррентных соотношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей
Сообщение25.01.2015, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11244
Казань
Padawan
Спасибо от меня (ТС-у, надеюсь, это тоже было полезно). Ключевое, конечно, равенство $PQ=QP$, над ним мне надо еще подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей
Сообщение25.01.2015, 21:30 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Padawan в сообщении #968264 писал(а):
Введем оператор увеличения индекса, которые действует на последовательность так $Ix_n=x_{n+1}$, $I^2x_n=IIx_n=I x_{n+1}=x_{n+2}$ и т.д.

Это, по-моему, лишнее. Вполне достаточно того, что любой разностный оператор есть произведение соотв. однократных, и эти сомножители коммутируют.

-- Вс янв 25, 2015 22:33:57 --

(Оффтоп)

Kozyrr в сообщении #968245 писал(а):
Остальные св-ва для линейного подпространства я доказал,

все-все-все?... т.е. буквально все-все аксиомы?...

По-моему, это (если от вас именно это требовали) -- явное издевательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей
Сообщение25.01.2015, 21:35 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
ewert
Что лишнее? Оператор увеличения индекса лишний? Это базовая вещь. Более базовая даже, чем разностный оператор $\Delta=I-1$ Я неудачно обозначил его, кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей
Сообщение26.01.2015, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21060
Уфа
Мне встречалось обозначение $\mathsf E$.

Padawan в сообщении #968264 писал(а):
Если теперь $x_n$ удовлетворяет уравнению $Px_n=0$, $y_n$ удовлетворяет уравнению $Qy_n=0$, то $z_n=x_n+y_n$ будет удовлетворять уравнению $PQz_n=0$.
Класс! Как просто и ясно!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group