Замкнутость линейных рекуррентных последовательностей

[provincialka]

ewert Не особо задумывалась над задачей, но у меня возникло подозрение, что характеристический многочлен "нового" уравнения можно получить перемножая характеристические уравнения исходных соотношений. Правда, может получиться не минимальный. Это так?

[Padawan]

provincialka
Есть. Мне проще будет рекуррентное уравнение степени $k$ записывать в виде $x_{n+k}=f(x_{n+k-1},\ldots, x_{n})$. Введем оператор увеличения индекса, которые действует на последовательность так $Ix_n=x_{n+1}$, $I^2x_n=IIx_n=I x_{n+1}=x_{n+2}$ и т.д. Тогда линейное рекурретное уравнение можно записать в виде $P(I)x_n=0$, где $P(I)=I^k+a_{k-1}I^{k-1}+\ldots+a_1 I+a_0$ -- многочлен с постоянными коэффициентами. Если теперь $x_n$ удовлетворяет уравнению $Px_n=0$, $y_n$ удовлетворяет уравнению $Qy_n=0$, то $z_n=x_n+y_n$ будет удовлетворять уравнению $PQz_n=0$. Для доказательство надо подставить $z_n=x_n+y_n$ и еще учесть, что $PQ=QP$, т.к. это многочлены от одного и того же оператора $I$.

Ну вот, уже все решили )

-- Пн янв 26, 2015 00:23:53 --

provincialka в сообщении #968262 писал(а):

Правда, может получиться не минимальный.

Да, вместо $PQ$ подойдет наименьшее общее кратное $P$ и $Q$.

[ewert]

provincialka в сообщении #968262 писал(а):

Правда, может получиться не минимальный. Это так?

Вот чего не думал, о том не задумывался. Хотя минимальным он быть, естественно, не обязан, т.к. корни могут и совпадать. Ну взять хотя бы два одинаковых рекуррентных соотношения.

[provincialka]

Padawan
Спасибо от меня (ТС-у, надеюсь, это тоже было полезно). Ключевое, конечно, равенство $PQ=QP$, над ним мне надо еще подумать.

[ewert]

Padawan в сообщении #968264 писал(а):

Введем оператор увеличения индекса, которые действует на последовательность так $Ix_n=x_{n+1}$, $I^2x_n=IIx_n=I x_{n+1}=x_{n+2}$ и т.д.

Это, по-моему, лишнее. Вполне достаточно того, что любой разностный оператор есть произведение соотв. однократных, и эти сомножители коммутируют.

-- Вс янв 25, 2015 22:33:57 --

(Оффтоп)

Kozyrr в сообщении #968245 писал(а):

Остальные св-ва для линейного подпространства я доказал,

все-все-все?... т.е. буквально все-все аксиомы?...

По-моему, это (если от вас именно это требовали) -- явное издевательство.

[Padawan]

ewert
Что лишнее? Оператор увеличения индекса лишний? Это базовая вещь. Более базовая даже, чем разностный оператор $\Delta=I-1$ Я неудачно обозначил его, кстати.

[arseniiv]

Мне встречалось обозначение $\mathsf E$.

Padawan в сообщении #968264 писал(а):

Если теперь $x_n$ удовлетворяет уравнению $Px_n=0$, $y_n$ удовлетворяет уравнению $Qy_n=0$, то $z_n=x_n+y_n$ будет удовлетворять уравнению $PQz_n=0$.

Класс! Как просто и ясно!