2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка нормы матрицы
Сообщение20.01.2015, 10:42 


20/01/15
1
Дано что матрица $A$ обратима и дано что
$
\frac{\left\lVert B\right\rVert}{\left\lVert A \right\rVert } < cond(A)$
Нужно доказать что $A+B$ обратима.

Решение:
$A+B=A(I+A^{-1}B)$.
Таким образом $A+B$ обратима если обратима $I+A^{-1}B$ . Т.е. надо показать что
$\left\lVert A^{-1}B\right\rVert<1$.

Из данных задачи
$
\frac{\left\lVert B\right\rVert}{\left\lVert A \right\rVert } < cond(A)=\left\lVert A\right\rVert \cdot
\left\lVert A^{-1}\right\rVert$
Тогда
$ \left\lVert B \right\rVert < {\left\lVert A\right\rVert}^2 \left\lVert A^{-1}\right\rVert $

$\left\lVert A^{-1}B \right\rVert \leq \left\lVert A^{-1}\right\rVert \left\lVert B \right\rVert
< {\left\lVert A\right\rVert}^2{\left\lVert A^{-1} \right\rVert}^2=\rho(A)\cdot\rho(A^{-1})$

где $\rho(A)$ -спектральный радиус. Я использую здесь спектральную норму.
Дальше не вижу как продвинуться. Получаю оценку $>1$ когда нужно $<1$.
Кто-нибудь может подсказать как это сделать?
Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка нормы матрицы
Сообщение20.01.2015, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4253
or15 в сообщении #965406 писал(а):
Дано что матрица $A$ обратима и дано что
$\frac{\left\lVert B\right\rVert}{\left\lVert A \right\rVert } < cond(A)$
Нужно доказать что $A+B$ обратима.


А это разве правда? Возьмите любую матрицу с $\mathrm{cond}(A)>1$ и пусть $B=-A$.

-- Вт, 20 янв 2015 01:33:48 --

Ну а если в условии заменить $\mathrm{cond}(A)$ на $\frac{1}{\mathrm{cond}(A)}$, то решение более-менее Вами уже написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка нормы матрицы
Сообщение20.01.2015, 19:03 
Заслуженный участник


11/05/08
30872
Более-менее. Если абстрагироваться от того, что вот здесь

or15 в сообщении #965406 писал(а):
$\left\Vert A^{-1}B \right\Vert \leq \left\Vert A^{-1}\right\Vert \left\Vert B \right\Vert< {\left\Vert A\right\Vert}^2{\left\Vert A^{-1} \right\Vert}^2=\rho(A)\cdot\rho(A^{-1})$

где $\rho(A)$ -спектральный радиус

последний переход адекватностью не страдает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group