2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 13:58 


21/07/09
230
Здравствуйте, уважаемые участники форума. У меня пустяковый и элементарный вопрос, который тем не менее поставил меня в тупик. У меня есть интеграл по площади от вектора. Зависит ли этот интеграл от базиса, по которому я его раскладываю? С одной стороны, я думаю что нет ибо вектор от базиса не зависит, с другой стороны, в зависимости от выбора базиса я получаю слагаемые, которые входят либо выносятся из-под интеграла. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 13:59 
Аватара пользователя


15/08/09
1366
МПГУ (математический факультет)
volchenok
Можно конкретный пример привести, т.е тот который Вы рассматриваете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:02 


21/07/09
230
Сам интеграл получился из уравнений Максвелла и представляет собой интеграл по круглому сечению от ротора вектора тока.

-- Пн янв 12, 2015 14:16:29 --

$$\int\limits_{S}^{}\operatorname{rot}\vec{j}ds$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:20 
Аватара пользователя


15/08/09
1366
МПГУ (математический факультет)
volchenok
А какие базисы вы уже пробывали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:29 


21/07/09
230
Ну по теории я могу выбрать один из двух базисов: 1) связанный с сечением интегрирования (соответственно такие производные с под интеграла не вынесутся) 2) не связанный с сечением интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11121
Казань
Об обозначениях. Обычно через $\vec j$ обозначают орт оси $Oy$, то есть постоянный вектор. У вас это что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:31 


21/07/09
230
это не постоянный вектор, а обозначается он так, поскольку имеет смысл плотности электрического тока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
provincialka в сообщении #960522 писал(а):
У вас это что-то другое?
volchenok в сообщении #960509 писал(а):
интеграл по круглому сечению от ротора вектора тока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11121
Казань
А! Ну, физических обозначений я не знаю. Но сам вопрос странный. С чего бы вдруг?
Если действительно
volchenok в сообщении #960506 писал(а):
вектор от базиса не зависит
Ведь ротор, насколько я знаю, имеет инвариантный смысл. Или это только для некоторых систем координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:47 


21/07/09
230
В том то весь и вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11121
Казань
Надеюсь, меня поправят, если что, но, насколько я помню, ротор вычисляется через определитель из производных только в декартовых координатах.

(Оффтоп)

Математики этого не проходят, по-крайней мере, наши. Смутно вспоминается термин "коэффициенты Ламе"

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 15:16 


21/07/09
230
$\operatorname{rot}\vec{j}$=$$\begin{bmatrix}
 & \vec{r}  \vec{\varphi}    \vec{z} & \\
 &  \frac{\partial }{\partial r}     \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi}    \frac{\partial }{\partial z}& \\
 &  {j}_{r} {j}_{\varphi} {j}_{z}& 
\end{bmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 15:31 


29/08/13
225
provincialka в сообщении #960528 писал(а):
Ведь ротор, насколько я знаю, имеет инвариантный смысл

volchenok в сообщении #960552 писал(а):
Надеюсь, меня поправят, если что, но, насколько я помню, ротор вычисляется через определитель из производных только в декартовых координатах.

Всё так. Ротор получится, если я не ошибаюсь, если опустить у исходного поля индексы, потом взять внешний дифференциал, затем взять звездочку Ходжа, после чего поднять индексы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63621
volchenok в сообщении #960509 писал(а):
Сам интеграл получился из уравнений Максвелла и представляет собой интеграл по круглому сечению от ротора вектора тока.

-- Пн янв 12, 2015 14:16:29 --

$$\int\limits_{S}^{}\operatorname{rot}\vec{j}ds$$

Из уравнений Максвелла обычно получается другой интеграл:
$$\int\limits_{S}(\operatorname{rot}\vec{j})\cdot d\vec{s},$$ где $d\vec{s}=\vec{n}\,ds$ - вектор, нормальный поверхности интегрирования. Такой интеграл будет инвариантным.

-- 12.01.2015 15:42:36 --

Вообще общее правило "на пальцах" такое: если под интегралом получается скалярная величина (включая элемент интегрирования), то интеграл имеет шансы быть инвариантным. Если не скалярная - то это не будет инвариант.

-- 12.01.2015 15:43:10 --

(Оффтоп)

Не зря я сунул нос в математическую тему...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 15:45 
Аватара пользователя


15/08/09
1366
МПГУ (математический факультет)
Munin
Таким образом интеграл приведенный Вами выше , будет инвариантным?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group