Интеграл от вектора

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. У меня пустяковый и элементарный вопрос, который тем не менее поставил меня в тупик. У меня есть интеграл по площади от вектора. Зависит ли этот интеграл от базиса, по которому я его раскладываю? С одной стороны, я думаю что нет ибо вектор от базиса не зависит, с другой стороны, в зависимости от выбора базиса я получаю слагаемые, которые входят либо выносятся из-под интеграла. Заранее спасибо.

[maxmatem]

volchenok
Можно конкретный пример привести, т.е тот который Вы рассматриваете.

[volchenok]

Сам интеграл получился из уравнений Максвелла и представляет собой интеграл по круглому сечению от ротора вектора тока.

-- Пн янв 12, 2015 14:16:29 --

$$\int\limits_{S}^{}\operatorname{rot}\vec{j}ds$$

[maxmatem]

volchenok
А какие базисы вы уже пробывали?

[volchenok]

Ну по теории я могу выбрать один из двух базисов: 1) связанный с сечением интегрирования (соответственно такие производные с под интеграла не вынесутся) 2) не связанный с сечением интегрирования.

[provincialka]

Об обозначениях. Обычно через $\vec j$ обозначают орт оси $Oy$, то есть постоянный вектор. У вас это что-то другое?

[volchenok]

это не постоянный вектор, а обозначается он так, поскольку имеет смысл плотности электрического тока.

[Nemiroff]

provincialka в сообщении #960522 писал(а):

У вас это что-то другое?

volchenok в сообщении #960509 писал(а):

интеграл по круглому сечению от ротора вектора тока.

[provincialka]

А! Ну, физических обозначений я не знаю. Но сам вопрос странный. С чего бы вдруг?
Если действительно

volchenok в сообщении #960506 писал(а):

вектор от базиса не зависит

Ведь ротор, насколько я знаю, имеет инвариантный смысл. Или это только для некоторых систем координат?

[volchenok]

В том то весь и вопрос.

[provincialka]

Надеюсь, меня поправят, если что, но, насколько я помню, ротор вычисляется через определитель из производных только в декартовых координатах.

(Оффтоп)

Математики этого не проходят, по-крайней мере, наши. Смутно вспоминается термин "коэффициенты Ламе"

[volchenok]

$\operatorname{rot}\vec{j}$=$$\begin{bmatrix} & \vec{r} \vec{\varphi} \vec{z} & \\ & \frac{\partial }{\partial r} \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi} \frac{\partial }{\partial z}& \\ & {j}_{r} {j}_{\varphi} {j}_{z}& \end{bmatrix}$$

[VanD]

provincialka в сообщении #960528 писал(а):

Ведь ротор, насколько я знаю, имеет инвариантный смысл

volchenok в сообщении #960552 писал(а):

Надеюсь, меня поправят, если что, но, насколько я помню, ротор вычисляется через определитель из производных только в декартовых координатах.

Всё так. Ротор получится, если я не ошибаюсь, если опустить у исходного поля индексы, потом взять внешний дифференциал, затем взять звездочку Ходжа, после чего поднять индексы.

[Munin]

volchenok в сообщении #960509 писал(а):

Сам интеграл получился из уравнений Максвелла и представляет собой интеграл по круглому сечению от ротора вектора тока.

-- Пн янв 12, 2015 14:16:29 --

$$\int\limits_{S}^{}\operatorname{rot}\vec{j}ds$$

Из уравнений Максвелла обычно получается другой интеграл:

$$\int\limits_{S}(\operatorname{rot}\vec{j})\cdot d\vec{s},$$

где $d\vec{s}=\vec{n}\,ds$ - вектор, нормальный поверхности интегрирования. Такой интеграл будет инвариантным.

-- 12.01.2015 15:42:36 --

Вообще общее правило "на пальцах" такое: если под интегралом получается скалярная величина (включая элемент интегрирования), то интеграл имеет шансы быть инвариантным. Если не скалярная - то это не будет инвариант.

-- 12.01.2015 15:43:10 --

(Оффтоп)

Не зря я сунул нос в математическую тему...

[maxmatem]

Munin
Таким образом интеграл приведенный Вами выше , будет инвариантным?