2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 04:00 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Решаю следующую задачу:
Докажите, что расстояние между точками, лежащими на сфере, можно измерять по хорде и по дуге, не превосходящей половины длины большого круга. Установите связь между этими метриками.
С хордой все понятно, проведем, например, начало координат в центре сферы, и будем мерить хорду как расстояние между двумя точками, формулой: $r(x,y)=\sqrt{\left\lvert  x_{2} - x_{1}\right\rvert +\left\lvert  y_{2} - y_{1}\right\rvert + \left\lvert  z_{2} - z_{1}\right\rvert} $
Первые две аксиомы, очевидно, выполняются, для третьей :
$r(x,y)=\sqrt{\left\lvert  x_{2} - k_{x}\right\rvert +\left\lvert  y_{2} - k_{x}\right\rvert + \left\lvert  z_{2} - k_{z}\right\rvert} + \sqrt{\left\lvert  k_{x} - x_{1}\right\rvert +\left\lvert  k_{y} - y_{1}\right\rvert + \left\lvert  k_{z} - z_{1}\right\rvert} \geq \sqrt{\left\lvert  x_{2} - x_{1}\right\rvert +\left\lvert  y_{2} - y_{1}\right\rvert + \left\lvert  z_{2} - z_{1}\right\rvert}  $
Возвести обе части в квадрат и в левой части сгруппировать соответствующие для $x,y,z$ модули и применить для них правило треугольника.
А вот как померить дугу на сфере не очень понятно, формулы какой-то конкретной не видно. Причем, нужно выбирать видимо так, чтобы потом можно было с хордой связать. Подскажите пожалуйста, в каком направлении мыслить дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10860
Казань
Здрасьте, что это у вас за "расстояния"? Про квадраты забыли? Расстояние по хорде - обычное евклидово, про него все давно уже доказано (в лекциях, наверное, тоже).
Расстояние по дуге измеряется ее центральным углом. Что приводит нас к решенной чуть ранее задаче о лучах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62038
provincialka в сообщении #959422 писал(а):
Здрасьте, что это у вас за "расстояния"? Про квадраты забыли?

Да ладно, обычные манхеттенские расстояния :-)

Bacon в сообщении #959405 писал(а):
А вот как померить дугу на сфере не очень понятно, формулы какой-то конкретной не видно. Причем, нужно выбирать видимо так, чтобы потом можно было с хордой связать.

Да уж, явную формулу тут так просто не выпишешь, НО. Это можно сделать, если повернуть систему координат, совместив одну точку с северным полюсом, а вторую, заодно, для простоты поместив на нулевой меридиан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6617
Hogtown
Munin в сообщении #959464 писал(а):
Да уж, явную формулу тут так просто не выпишешь,

Тоже мне, Задача 1000-летия: зная хорду найти соответствующий ей угол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62038
LOL
Тут, вроде бы, задача в том, чтобы найти их независимыми путями.

Хотя итоговая формула-то будет одна и та же, можно и сжульничать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10860
Казань
Munin в сообщении #959464 писал(а):
Да ладно, обычные манхеттенские расстояния :-)

Ну, положим, корень из манхэттенского. Впрочем, подождем ТС. Пусть сам решает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 15:27 
Аватара пользователя


28/07/09
1011
provincialka
Эквивалентно же! Так как корень выпукл вверх.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10860
Казань
Legioner93
Я уже с этим ТС общалась. С ним надо все постепенно. А при чем тут эквивалентность? Про это вопроса не было.
А вот выражать длину дуги легче через евклидово расстояние.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62038
Я даже боюсь себе представить, что такое манхэттенская длина дуги :-)

-- 10.01.2015 18:19:06 --

Legioner93
Разве там дело в выпуклости, а не в монотонности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 19:00 
Аватара пользователя


28/07/09
1011

(Оффтоп)

Munin
Конкретно для эквивалентности нужна только монотонность, согласен.
Но (строго) выпуклая вверх на всей полуоси положительная функция в любом случае (строго) монотонна будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 20:15 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka
Да, плохая это была идея начать решать задачу в полчетвертого утра.
Тогда Хорды будем мерить Евклидовой метрикой:
$ r(x,y)=\sqrt{  (x_{2} - x_{1})^{2} +(  y_{2} - y_{1})^{2} + ( z_{2} - z_{1})^{2}} $
А дуги, действительно сводятся к лучам из прошлой задачи.
Остается только связь между ними установить. Думаю сгодится формула Гюйгенса. Пусть есть дуга $AB$, для нее проведем хорду $ab$, через середину $ab$, назовем $C$ перпендикуляр проведем, точку пересечения назовем М. Тогда $AB=2am + \frac{1}{3}(2am - ab)$
Посчитать $am, ab$ метрикой Евклида и все.
Только как это в общем виде записать? Так что ли:
$r(A,B)=2r_{1}(A,M) + \frac{1}{3}(2r_{1}(A,M) - r_{1}(A,B))$
Только точка $M$ странно смотрится. Нужно ли ее прятать ? Через прямоугольный треугольник, например. Но тогда угол всплывет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10860
Казань
Опять сложно. Рассмотрите сектор окружности радиуса $r$ с дугой $l$. Найдите центральный угол $\alpha$, а через него хорду $d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 20:55 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka
Не пойму, зачем находить угол, ведь он же и есть метрика на дугах, нельзя ли тогда просто вот так связать:
$d=2Rsin(\frac{\theta}{2})$
где $\theta$ - центральный угол в радианах.
Тогда в общем виде получится:
$r_{1}(A,B)=2Rsin(\frac{r_{2}(A,B)}{2})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10860
Казань
Bacon в сообщении #959650 писал(а):
Не пойму, зачем находить угол, ведь он же и есть метрика на дугах

Почему угол? Я так поняла, что длина дуги. А она от радиуса зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика на сфере
Сообщение10.01.2015, 21:08 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka

:facepalm: Даа вы правы, тогда подправлю:
$r_{2}(A,B)=R\theta$
$d=2Rsin(\frac{\theta}{2})$
где $\theta$ - центральный угол в радианах.
Тогда в общем виде получится:
$r_{1}(A,B)=2Rsin(\frac{r_{2}(A,B)}{2R})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group