2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 16:53 
Аватара пользователя


22/06/12
552
Добрый день. Поздравляю всех с наступившим Новым годом.

Имеется вопрос по вычислению величины $x$:

$$ x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} $$

Рассмотрим последовательность $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$.
Очевидно, что $x = \sqrt{1 + x_2} = x_1$. Теперь вопрос: как можно найти $x_1$? Существует ли это значение?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:25 
Аватара пользователя


21/09/12
1064
Приведённое соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$ даёт последовательность $x_{n+1} = x_n^2-n$, образующую ряд $ 1, 0, -2, 1, -3, 4, ...$
Исправьте ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:33 
Заслуженный участник


14/03/10
867
:twisted: можете посмотреть тут

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:50 
Аватара пользователя


22/06/12
552
atlakatl в сообщении #955150 писал(а):
Приведённое соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$ даёт последовательность $x_{n+1} = x_n^2-n$, образующую ряд $ 1, 0, -2, 1, -3, 4, ...$
Исправьте ошибки.


Позвольте, как был определён этот ряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:55 
Аватара пользователя


21/09/12
1064
StaticZero в сообщении #955160 писал(а):
как был определён этот ряд?


Возводим обе части в квадрат и переносим $n$. Дальше вычисляем ряд, начиная с $n=1$.
Или я неправильно понял соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:03 
Аватара пользователя


22/06/12
552
Хорошо, чему равен $x_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:09 
Аватара пользователя


21/09/12
1064
StaticZero в сообщении #955168 писал(а):
чему равен $x_1$?

Исходя из "радикального" соотношения, у меня получилось $x_1=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:11 
Аватара пользователя


22/06/12
552
Согласно моему первому посту, при этом получается, что $x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} = 1$.

-- 01.01.2015, 19:19 --

patzer2097 в сообщении #955151 писал(а):

Спасибо, поиски выражения тогда прекращаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:23 
Аватара пользователя


21/09/12
1064
StaticZero в сообщении #955170 писал(а):
при этом получается, что $x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} = 1$

Не считая: $x$ явно больше единицы, но меньше двух.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3543
atlakatl
Вы не поняли условие задачи. Пройдите, пожалуйста, по рекомендованной выше ссылке и всё прояснится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:35 
Аватара пользователя


22/06/12
552
atlakatl в сообщении #955174 писал(а):
но меньше двух.



Кстати, забавный факт:

$$ \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} < \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}} = 2 $$

хотя напрямую это и не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:41 
Аватара пользователя


21/09/12
1064
grizzly в сообщении #955177 писал(а):
Вы не поняли условие задачи

Просмотрев пост по ссылке, я всё равно не понял манипуляций
StaticZero в сообщении #955146 писал(а):
Рассмотрим последовательность $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$.
Очевидно, что $x = \sqrt{1 + x_2} = x_1$

Впрочем, тема себя исчерпала данной ссылкой полностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:43 
Аватара пользователя


22/06/12
552
atlakatl в сообщении #955182 писал(а):
всё равно не понял манипуляций


Если начать разворачивать последовательность вперёд указанным образом при $n \to \infty$, то в точности получим $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 19:57 
Аватара пользователя


22/06/12
552
А как получить оценки для $x$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 22:22 
Аватара пользователя


28/04/14
564
матмех спбгу
Попробуйте посмотреть более общую задачу в книге "Избранные задачи по вещественному анализу" за авторством Макарова, Подкорытова, Лодкина и Голузиной. Глава 2, задача 1.15. Порешайте предыдущие - авось чего в голову придет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group