Значение бесконечно вложенного радикала

[StaticZero]

Добрый день. Поздравляю всех с наступившим Новым годом.

Имеется вопрос по вычислению величины $x$:

$$ x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} $$

Рассмотрим последовательность $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$.
Очевидно, что $x = \sqrt{1 + x_2} = x_1$. Теперь вопрос: как можно найти $x_1$? Существует ли это значение?

Спасибо.

[atlakatl]

Приведённое соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$ даёт последовательность $x_{n+1} = x_n^2-n$, образующую ряд $ 1, 0, -2, 1, -3, 4, ...$
Исправьте ошибки.

[patzer2097]

можете посмотреть тут

[StaticZero]

atlakatl в сообщении #955150 писал(а):

Приведённое соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$ даёт последовательность $x_{n+1} = x_n^2-n$, образующую ряд $ 1, 0, -2, 1, -3, 4, ...$
Исправьте ошибки.

Позвольте, как был определён этот ряд?

[atlakatl]

StaticZero в сообщении #955160 писал(а):

как был определён этот ряд?

Возводим обе части в квадрат и переносим $n$. Дальше вычисляем ряд, начиная с $n=1$.
Или я неправильно понял соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$?

[StaticZero]

Хорошо, чему равен $x_1$?

[atlakatl]

StaticZero в сообщении #955168 писал(а):

чему равен $x_1$?

Исходя из "радикального" соотношения, у меня получилось $x_1=1$

[StaticZero]

Согласно моему первому посту, при этом получается, что $x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} = 1$.

-- 01.01.2015, 19:19 --

patzer2097 в сообщении #955151 писал(а):

:twisted: можете посмотреть тут

Спасибо, поиски выражения тогда прекращаю.

[atlakatl]

StaticZero в сообщении #955170 писал(а):

при этом получается, что $x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} = 1$

Не считая: $x$ явно больше единицы, но меньше двух.

[grizzly]

atlakatl
Вы не поняли условие задачи. Пройдите, пожалуйста, по рекомендованной выше ссылке и всё прояснится.

[StaticZero]

atlakatl в сообщении #955174 писал(а):

но меньше двух.

Кстати, забавный факт:

$$ \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} < \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}} = 2 $$

хотя напрямую это и не следует.

[atlakatl]

grizzly в сообщении #955177 писал(а):

Вы не поняли условие задачи

Просмотрев пост по ссылке, я всё равно не понял манипуляций

StaticZero в сообщении #955146 писал(а):

Рассмотрим последовательность $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$.
Очевидно, что $x = \sqrt{1 + x_2} = x_1$

Впрочем, тема себя исчерпала данной ссылкой полностью.

[StaticZero]

atlakatl в сообщении #955182 писал(а):

всё равно не понял манипуляций

Если начать разворачивать последовательность вперёд указанным образом при $n \to \infty$, то в точности получим $x$.

[StaticZero]

А как получить оценки для $x$ ?

[demolishka]

Попробуйте посмотреть более общую задачу в книге "Избранные задачи по вещественному анализу" за авторством Макарова, Подкорытова, Лодкина и Голузиной. Глава 2, задача 1.15. Порешайте предыдущие - авось чего в голову придет.