2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 16:53 
Аватара пользователя
Добрый день. Поздравляю всех с наступившим Новым годом.

Имеется вопрос по вычислению величины $x$:

$$ x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} $$

Рассмотрим последовательность $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$.
Очевидно, что $x = \sqrt{1 + x_2} = x_1$. Теперь вопрос: как можно найти $x_1$? Существует ли это значение?

Спасибо.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:25 
Аватара пользователя
Приведённое соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$ даёт последовательность $x_{n+1} = x_n^2-n$, образующую ряд $ 1, 0, -2, 1, -3, 4, ...$
Исправьте ошибки.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:33 
:twisted: можете посмотреть тут

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:50 
Аватара пользователя
atlakatl в сообщении #955150 писал(а):
Приведённое соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$ даёт последовательность $x_{n+1} = x_n^2-n$, образующую ряд $ 1, 0, -2, 1, -3, 4, ...$
Исправьте ошибки.


Позвольте, как был определён этот ряд?

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 17:55 
Аватара пользователя
StaticZero в сообщении #955160 писал(а):
как был определён этот ряд?


Возводим обе части в квадрат и переносим $n$. Дальше вычисляем ряд, начиная с $n=1$.
Или я неправильно понял соотношение $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$?

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:03 
Аватара пользователя
Хорошо, чему равен $x_1$?

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:09 
Аватара пользователя
StaticZero в сообщении #955168 писал(а):
чему равен $x_1$?

Исходя из "радикального" соотношения, у меня получилось $x_1=1$

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:11 
Аватара пользователя
Согласно моему первому посту, при этом получается, что $x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} = 1$.

-- 01.01.2015, 19:19 --

patzer2097 в сообщении #955151 писал(а):

Спасибо, поиски выражения тогда прекращаю.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:23 
Аватара пользователя
StaticZero в сообщении #955170 писал(а):
при этом получается, что $x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} = 1$

Не считая: $x$ явно больше единицы, но меньше двух.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:30 
Аватара пользователя
atlakatl
Вы не поняли условие задачи. Пройдите, пожалуйста, по рекомендованной выше ссылке и всё прояснится.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:35 
Аватара пользователя
atlakatl в сообщении #955174 писал(а):
но меньше двух.



Кстати, забавный факт:

$$ \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} < \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}} = 2 $$

хотя напрямую это и не следует.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:41 
Аватара пользователя
grizzly в сообщении #955177 писал(а):
Вы не поняли условие задачи

Просмотрев пост по ссылке, я всё равно не понял манипуляций
StaticZero в сообщении #955146 писал(а):
Рассмотрим последовательность $x_n = \sqrt{n + x_{n + 1}}$.
Очевидно, что $x = \sqrt{1 + x_2} = x_1$

Впрочем, тема себя исчерпала данной ссылкой полностью.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 18:43 
Аватара пользователя
atlakatl в сообщении #955182 писал(а):
всё равно не понял манипуляций


Если начать разворачивать последовательность вперёд указанным образом при $n \to \infty$, то в точности получим $x$.

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 19:57 
Аватара пользователя
А как получить оценки для $x$ ?

 
 
 
 Re: Значение бесконечно вложенного радикала
Сообщение01.01.2015, 22:22 
Аватара пользователя
Попробуйте посмотреть более общую задачу в книге "Избранные задачи по вещественному анализу" за авторством Макарова, Подкорытова, Лодкина и Голузиной. Глава 2, задача 1.15. Порешайте предыдущие - авось чего в голову придет.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group