2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проективное преобразование коники
Сообщение15.12.2014, 23:43 


20/11/14
89
Требуется найти по крайней мере одно проективное преобразование, переводящее гиперболу
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

в себя, а касательные в вершинах в её асимптоты.

У меня лично затруднения возникают уже на первом этапе(без асимптот)
Из каких соображений вообще это надо делать?
Составлять уравнение на проективное преобразование?

Где бы про это почитать вообще

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективное преобразование коники
Сообщение16.12.2014, 12:27 


13/08/14
349
Сначала спроектируйте на другую плоскость так, чтобы ось гиперболы, проходящая через вершины, перешла в бесконечно удаленную линию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективное преобразование коники
Сообщение16.12.2014, 19:35 


20/11/14
89
Ну есть все это у нас в плоскости $\alpha$. Взяли плоскость не проходящую через поперечную ось и перпендикулярную $\alpha$ и назвали ее $\alpha$ спроектировали $\alpha$ на $\beta$ из точки лежащей на плоскости перпендикулярной $\alpha$ и проходящей через нашу ось.
Получили, что поперечная ось перешла в бесконечно удаленную прямую, гипербола перешла в гиперболу(правда уже другую?)(т.к. 2 точки пересечение с бесконечно удаленной). Асимптоты теперь стали параллельными прямыми(тк пересекаются в на беск.) и так как они касались её на бесконечности, то теперь тоже касаются(?), но у гиперболы параллельными могут быть только касательные в вершинах.
Ну а вернуть на место можно пошевелив и поотражав просто.

Я верно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективное преобразование коники
Сообщение17.12.2014, 23:39 


20/11/14
89
К этой задаче еще:
Теперь требуется найти общий вид этих проективных преобразований.
Есть подозрение, что они параметризуется выбором той первой точки просто из которой мы проектируем, но как это доказать и вообще я что-то не понимаю.
Да и может и прошлое мое рассуждение было ошибочно

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективное преобразование коники
Сообщение18.12.2014, 23:00 


13/08/14
349
Запишите в проективных координатах одно такое преобразование (попроще). Чтобы ось $x$ ушла в бесконечность должно быть $z'=0$ при $y=0$ и любых $x$ и $z$. Любое требуемое проективное преобразование есть композиция этого преобразования и аффинного преобразования, переводящего гиперболу в себя. Такое аффинное преобразование должно растягивать вдоль одной асимптоты и сжимать в то же число раз вдоль другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективное преобразование коники
Сообщение19.12.2014, 13:01 


20/11/14
89
Ну я выбрал $x \mapsto \frac{x}{b}, y \mapsto z, z \mapsto \frac{y}{b^2}$ и вроде все отлично.
Ну как с афинным все это прокомпоновать тоже ясно.
Но как показать, что ничего другого нет?
Прошу прощения уж за приставучесть, совсем не силен в геометрии просто, а разобраться нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективное преобразование коники
Сообщение19.12.2014, 20:31 


13/08/14
349
С аффинными преобразованиями гиперболы можно провести рассмотрение в координатах, где уравнение имеет вид $xy=1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group