2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение21.01.2015, 19:55 


07/08/14
1665
Kras в сообщении #966370 писал(а):
Иначе $(-1)^{2/6}$ по определению можно записать как $(\sqrt[6]{-1})^2$, а это уже ни в какие рамки не лезет.

то есть для умножения $x^{1/3}\cdot x$ до $x^{4/3}$ надо область значений $x$ определять?

-- 21.01.2015, 19:56 --

так я просто $\[\frac{{\sqrt[3]{{ - 1}}}}{{{{( - 1)}^{\frac{1}{3}}}}} = 1\]$ в куб возвел и $x$ вместо $-1$ подставил

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение21.01.2015, 19:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2867
upgrade
Вы местами меняли степени. Нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение21.01.2015, 20:02 


19/05/10
3836
Россия
mihailm в сообщении #966369 писал(а):
...Не знаю, сейчас проведу эксперимент)
Похоже, что в качестве корня берется тот, у которого действительная часть наибольшая (при равенстве сравнивает и мнимые части)

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение21.01.2015, 20:06 
Заслуженный участник


25/02/08
2867
mihailm
А я в справке нашёл весьма интересные строки
Код:
Power[x,y] has a branch cut discontinuity for y running from -\[Infinity] to 0 in the complex x plane for noninteger y. Because of this branch cut, Power[x,1/n] returns a complex root by default instead of the real one for negative real x and odd positive n. To obtain a real-valued n\[Null]^th root, Surd[x,n] can be used. The special case CubeRoot[x] corresponds to Surd[x,3].

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение21.01.2015, 20:16 


19/05/10
3836
Россия
Про surd я знал (она так называется и в maple). Но правило выбора корня тут я не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение21.01.2015, 20:28 
Заслуженный участник


25/02/08
2867
mihailm
Да, это понятно. По поводу $\[{( - 1)^{\frac{1}{3}}}\]$ там даже пример есть, и сказано
Код:
The principal root is always used

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение21.01.2015, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20047
Уфа
Ещё на первой странице Aritaborian про principal root упоминал. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63044
Qazed в сообщении #966336 писал(а):
Заканчиваю физико-математический класс, на всех уроках математики $\sqrt[3]{-1} = (-1)^{1/3}$ и наоборот по определению. (Класс возможно несовременный или неправильный *ирония*)

Ирония здесь уместна.

Дело в том, что с одной стороны, физико-математический класс мог бы дать вам знания поглубже и получше. Но с другой стороны, тогда вы не сможете сдать ЕГЭ, стандартный для всех: вы дадите более правильные ответы, а от вас там будут ждать более "стандартно-школьных". Зачем вас так заваливать? Поэтому вам вынуждены прежде всего давать "стандартно-школьную" версию, а только потом, если останется время, где-нибудь факультативно шёпотом рассказать, как там всё на самом деле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 03:20 
Аватара пользователя


11/06/12
7187
Минск
arseniiv в сообщении #966417 писал(а):
Ещё на первой странице Aritaborian про principal root упоминал.
К сожалению, Aritaborian был справедливо выкошен модераторами на некоторое время за дурное пристрастие к неподобающему стилю общения и только лишь и мог, что колотиться головой о стену, страдая от невозможности указать участникам дискуссии на своё месячной давности разъяснение про principal root ;-D

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 20:15 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Возможно я чего-то не понимаю, но, mihailm, Munin, позволю себе процитировать Е. Хорошилову (Элементарная математика [2010]):
Цитата:
Изображение
Разумеется, исключительно в целях того, чтобы показать как обстоят дела со "школьной математикой", полагаю, что за 5 лет книга принципиально не устарела. Двухтомник, справедливости ради, уровня "абитуриенту МГУ" --- ни больше ни меньше (что бы это не значило).
Тогда по определению имеем: $ (-1)^{1/3} = \sqrt[3]{-1} $, так как $-1 < 0$, $3$ --- нечётное, $1$ --- целое.

mihailm, ещё раз:
Brukvalub в сообщении #966315 писал(а):
Понятно, что ответ на этот вопрос зависит исключительно от определения корня и дробной степени в конкретных учебниках.
***
mihailm в сообщении #966371 писал(а):
Qazed, мы что ли за вас учебники школьные открывать будем??? Откройте и убедитесь, что я прав
Для устранения недопониманий: я сам в состоянии взять в руки школьный учебник и убедиться, что вы не правы, касательно современных школьных правил, так как в литературе определения приводят разные.
mihailm в сообщении #966326 писал(а):
Qazed в сообщении #966272 писал(а):
...Верно ли равенство?
$\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}$
По современным школьным правилам нет, правая часть не определена.
Надеюсь, что холивара по поводу моего опуса не будет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63044
Qazed в сообщении #966916 писал(а):
Разумеется, исключительно в целях того, чтобы показать как обстоят дела со "школьной математикой", полагаю, что за 5 лет книга принципиально не устарела. Двухтомник, справедливости ради, уровня "абитуриенту МГУ" --- ни больше ни меньше (что бы это не значило).

Ну вот это и есть "стандартно-школьный" уровень.

А Mathematica не знает, что вы ей задаёте вопрос на этом "стандартно-школьном" уровне. Она старается дать ответ, как если бы вопрос был задан на более высоком уровне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 21:22 


19/05/10
3836
Россия
Qazed, Е. Хорошилова (Элементарная математика [2010]) - это школьный учебник?

-- Чт янв 22, 2015 21:40:42 --

Что-то молчит Qazed)
Сам отвечу - это не школьный учебник. Qazed, научить определять школьные учебники?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 22:12 
Аватара пользователя


20/06/14
236
mihailm, давайте вы поучите кого-нибудь другого, напишете статью, если вам интересно; а мы прекратим этот бессмысленный разговор; полагаю, что к консерсусу мы не прийдём, а мне жалко своего времени (и ещё больше вашего).

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 22:16 


19/05/10
3836
Россия
Как скажете, не буду учить

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63044
Qazed
Вкратце, ситуация такая.

Есть разные множества чисел. Вы про некоторые, возможно, знаете. Обозначаются они большими буквами, и иногда - стилистически особенными "стеклянными" буквами:
- $N,\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел $1,2,3,\ldots$
- $Z,\mathbb{Z}$ - множество целых чисел $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$
- $Q,\mathbb{Q}$ - множество рациональных чисел $\dfrac{p}{q},$ где $p\in\mathbb{Z},\quad q\in\mathbb{N}$;
- $I,\mathbb{I}$ - множество иррациональных чисел - скажем, бесконечные непериодические десятичные дроби;
- $R,\mathbb{R}$ - множество действительных (или вещественных) чисел - скажем, всевозможные бесконечные десятичные дроби.
Кроме них, есть и другие числа (множества чисел, системы чисел). Не все такие числа изучаются элементарной математикой (и входят в школьную программу). Есть в том числе и комплексные числа, $C,\mathbb{C}.$ Если числа от натуральных до действительных можно изображать на одной прямой ("числовая прямая"), то комплексные числа уже образуют комплексную плоскость, а на прямую не умещаются. Но на комплексной плоскости проходит действительная прямая - это место, на которое попадают обычные действительные числа.

Комплексные числа отличаются от действительных тем, что в них у числа может быть уже не один, а несколько корней. Один из этих корней может оказаться на действительной прямой, и для него "действительный" и "комплексный" "смыслы корня" совпадают. Но другие корни оказываются в стороне от действительной прямой.

Рассказывать про всё это - довольно долго и сложно, и поэтому в школьную программу не помещается. (Когда-то давно помещалось, но с тех пор программа ухудшилась.) Вот и получается, что с одной точки зрения может быть так, что у числа нет корня, а с другой - есть корень. Или, с одной точки зрения, у числа один конкретный корень, а с другой - много корней.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group