Совместное распределение двух векторов

[provincialka]

Собственно, если хорошенько подумать, и интегралы не нужны. Достаточно сложить два вектора по правилу параллелограмма и наложить условие на каждое слагаемое (что длина его не больше 1).

[Greg_st]

Цитата:

Прошу извинить.

Ничего страшного. Лишний раз освежить определения в памяти не помешало.

Цитата:

$$f(x)=\int\limits_{\mathbb R^2}f_1(t)f_2(x-t)dt$$

И здесь я снова спотыкаюсь о геометрию. Ведь, по логике, нас интересует область $\pi R^2$ ($\pi$ в нашем случае) и, беря интеграл от произведения двух констант $\frac{1}{\pi}$, мы вновь возвращаемся к константе $\frac{1}{\pi}$.
Т. е. распределение случайно заданного вектора в круге (а вектор $Z$ уже не привязан к началу координат) имеет такое же распределение, как вектор, начинающийся в точке $(0;0)$?

И через сложение векторов мы, вроде, приходим к той же константе, разве что условие, при котором плотность не равна нулю, чуть сложнее (по крайней мере, на глаз) и переносится на $(0;2)$.

[Otta]

Она же у Вас не везде $1/\pi$. Кое-где и ноль. Плотности под знаком интеграла вычисляются в разных точках $t$ и $x-t$, значения в них совпадать не обязаны.

[Greg_st]

Но $f_i(x) $ у нас равно нулю только вне круга.
Т. е. я упустил из внимания ситуацию, когда одно из распределений равно $0$, а второе $1/\pi$?

[Otta]

Greg_st в сообщении #944848 писал(а):

Т. е. распределение случайно заданного вектора в круге (а вектор $Z$ уже не привязан к началу координат) имеет такое же распределение, как вектор, начинающийся в точке $(0;0)$?

Что-то меня эта фраза насторожила. Ни один вектор никуда не привязан.
Вы точно исходную формулировку задачи цитируете, или она у Вас откуда-то возникла?

-- 12.12.2014, 14:42 --

Greg_st в сообщении #944856 писал(а):

Т. е. я упустил из внимания ситуацию, когда одно из распределений равно $0$, а второе $1/\pi$?

Вам надо знать, на каком множестве это произведение ненулевое. На каком?

[Greg_st]

Перечитал задание внимательнее и начал понимать, где ошибка закралась.
Условие "в круге единичного радиуса с центром в нуле" мозг магически преобразовал в "случайные вектора с началом в нуле". Отсюда начинаю все больше задумываться, а не пальнул ли я себе в ногу таким преобразованием.

Цитата:

Вам надо знать, на каком множестве это произведение ненулевое. На каком?

Надеюсь не глупость сморозил, но... на площади нашего круга?

[Evgenjy]

Если зафиксировать вектор суммы, то что из себя представляет фигура, где лежат концы слагаемых векторов?

[Otta]

Greg_st в сообщении #944864 писал(а):

на площади нашего круга?

Нет. Не на ней. Вот это надо понять в первую очередь - где произведение плотностей под интегралом ненулевое. Написать, нарисовать, а потом считать.

[Greg_st]

Цитата:

Если зафиксировать вектор суммы, то что из себя представляет фигура, где лежат концы слагаемых векторов?

Параллелограмм.

Цитата:

Нет. Не на ней. Вот это надо понять в первую очередь - где произведение плотностей под интегралом ненулевое. Написать, нарисовать, а потом считать.

В некоторых случаях вектора будут выдавать нулевую сумму - в эту ли сторону копать? Не помню просто каких-либо свойств, использующих нулевую плотность распределения.

[Otta]

Еще раз: под интегралом произведение. Когда произведение двух множителей ненулевое? Когда каждый не равен нулю. Когда каждый не равен нулю, на каком множестве? Написали. Дальше. Когда теперь оба не равны нулю, на каком множестве? Написали. Нарисовали. Любуемся.

[provincialka]

Greg_st в сообщении #944870 писал(а):

Цитата:

Если зафиксировать вектор суммы, то что из себя представляет фигура, где лежат концы слагаемых векторов?
Параллелограмм.

Нет. С чего бы? давайте один вектор отложим от 0, вектор $\overrightarrow{OA}$. Другой от его конца, $\overrightarrow{AB}$. Точка $B$ имеет координаты $(x, y)$. Ее будем считать фиксированной.

Каковы ограничения на $\overrightarrow{OA}$? На $\overrightarrow{AB}$? Где, в силу этих ограничений, лежит точка $A$?

[Greg_st]

Цитата:

Нет. С чего бы? давайте один вектор отложим от 0, вектор $\overrightarrow{OA}$. Другой от его конца, $\overrightarrow{AB}$. Точка $B$ имеет координаты $(x, y)$. Ее будем считать фиксированной.

Каковы ограничения на $\overrightarrow{OA}$? На $\overrightarrow{AB}$? Где, в силу этих ограничений, лежит точка $A$?

Попробовал порисовать - пришел к сектору. Точка $A$, если говорить грубо, не может лежать на прямой $0B$. Если говорить не грубо, а правильно, приходим к круговому сектору. При условии, что я не усложняю зазря снова.

Цитата:

Еще раз: под интегралом произведение. Когда произведение двух множителей ненулевое? Когда каждый не равен нулю. Когда каждый не равен нулю, на каком множестве? Написали. Дальше. Когда теперь оба не равны нулю, на каком множестве? Написали. Нарисовали. Любуемся.

С множествами, как показала практика, у меня туго - совершенно теряюсь там, где не могу представить "картинку", то бишь геометрическую интерпретацию, хотя бы совсем приближенную. Пока что по делу ответить ничего не могу, но направление мысли понял. Буду переваривать.

[provincialka]

Greg_st в сообщении #945072 писал(а):

Точка $A$, если говорить грубо, не может лежать на прямой $0B$.

А что ей мешает?
Сектор(ы) там тоже можно найти. Но что все-таки за множество пробегает точка $A$?

Greg_st в сообщении #945072 писал(а):

совершенно теряюсь там, где не могу представить "картинку", то бишь геометрическую интерпретацию,

Так я и предлагаю вам построить геометрическую интерпретацию. Концы $O$ и $B$ закреплены. Точка $A$ гуляет. Но не очень далеко от концов.
Что нам известно про векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{AB}$?

[Greg_st]

Оба вектора распределены равномерно, они не могут выйти за границы нашей единичной окружности.
Пытаюсь рисовать множество вариаций точки $A$. У меня выходит, что:
1) Она может гулять по радиусу от $0$ до $1$.
2) В тот же момент она гуляет по окружности от $0$ до $2\pi$.
Про прямую соврал. $A$ может лежать на $OB$. Т. е. точка $A$ оббегает весь круг.

[provincialka]

Greg_st в сообщении #945166 писал(а):

они не могут выйти за границы нашей единичной окружности.

А вот фигушки! У них у каждого своя окружность! Ведь второй вектор "прицеплен" в точке $B$, а не в точке $O$

Кстати, а какую фигуру пробегает точка $B$?