Совместное распределение двух векторов

[Greg_st]

Доброго времени суток.
Видел на форуме подобную задачу, но, к сожалению, ответы из той темы мне не помогли.
Условие: каждый из двух независимых векторов равномерно распределён в круге единичного радиуса с центром в нуле. Найти плотность распределения суммы этих векторов.
Итак, нахождение константы в распределении проблем не вызвало

$$\begin{cases} f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1$;} \\ f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1$;} \end{cases}$$

Далее, не имея возможности найти распределение двух векторов, что называется, в лоб, я решил действовать по такому алгоритму:

1)Найти отдельно распределение координат $x$ и $y$.
2)Исходя из того, что суммой векторов будет некий вектор $Z$, найти распределение $f(x+y)$, т. е. распределение координат $Z$ (благо, здесь мне помогает симметрия).
3)Найти совместное распределение $f(x*,y*)$, где $x*$ и $y*$ - координаты искомого вектора.

Первый пункт тоже не вызвал проблем. Из определения находим:

$f(x)=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}, |x|=<1$

В силу симметрии для $y$ распределение будет аналогичным.
Сложности начались дальше. Я попытался воспользоваться формулой:

$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(x-t)dt$$

И получил на выходе интеграл:

$\frac{4}{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \sqrt{(1-t^2)(1-(t-x)^2)}dt$

И... либо я совершенно забыл начальный курс матанализа, либо этот путь ведёт нас в тупик, ибо ничего, даже смутно напоминающее ответ, отсюда я получить не смог.

Как вариант, я рассматривал переход к полярным координатам, но совершенно не знаю, как в них работать, т. к. практики не имел, а учебники на этот счёт молчат (подразумеваю работу с распределениями в полярных координатах).
Т. е. могу перевести в полярные координаты изначальные векторы, но, что делать дальше, даже не представляю.
Буду очень признателен за наводку.

[Otta]

Не надо было ничего этого делать и пользоваться формулой

Greg_st в сообщении #944548 писал(а):

$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(x-t)dt$$

где уточняется, что она - для суммы независимых распределений. Ваши таковыми не являются.

Такие задачи лучше всего решать, находя сразу, по определению, функцию искомого распределения.

[Greg_st]

Определение функции распределения вопросов не вызывает, но возникает другая проблема - переменные $x$ и $y$ зависят друг от друга, да ещё и по определенной формуле ($x^2+y^2<1$), т. е. простым построением для комбинаций случаев для $x$ и $y$ больше\меньше $\pm1$ тут не отстреляешься. Существуют ли определения, указывающие, как поступать в таких случаях? Может глупость скажу, но двойной интеграл от минус бесконечности до $x$ и $y$ брать пытался.
Не взялся, вернее, вышел бесконечным.
Возможно, я неверно понимаю границы интегрирования для данной задачи.

UPD:

$$\begin{cases} f(x,y)=0,&\text{если $x<-1$ или $y<-1$;} \\ f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1$ и $x\in[-1,1]$, и $y\in[-1,1]$;} \\ f(x,y)=0,&\text{если $x>1$ или $y>1$;} \end{cases}$$

Если действовать "в лоб", плотность получилась такой. Получить из неё функцию пока не вышло.

[provincialka]

Greg_st в сообщении #944576 писал(а):

Не взялся, вернее, вышел бесконечным.

Как это? Ведь плотность конечна и отлична от нуля только внутри круга. А приведите-ка свой интеграл.

Впрочем, можно обойтись сведениями из элементарной геометрии (площадь сегмента).

-- 11.12.2014, 23:17 --

Greg_st в сообщении #944576 писал(а):

$$\begin{cases} f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1, x<-1, y<-1$;} \\ f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1, x\in[-1,1], y\in[-1,1]$;} \\ f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1, x>1, y>1$;} \end{cases}$$

у вас там запятые между условиями. Они что означают, "или" или "и"?
А ведь сначала было правильно:

Greg_st в сообщении #944548 писал(а):

$$\begin{cases} f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1$;} \\ f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1$;} \end{cases}$$

[Greg_st]

Подправил прошлое сообщение.
Двойной интеграл я брал по определению, т. е. "навскидку" попытался получить конечное значение, беря интеграл от константы $1/\pi$. Ради чистоты совести.
Я не совсем понимаю, причем здесь площадь сегмента? Работа идёт ведь внутри целого круга, площадью (в нашем случае) $\pi$. Но это уже использовано для нахождения плотности.
В геометрическом смысле, что именно мы должны делать с сегментом? В случае интеграла по площади мы берём прямую от $-\sqrt{1-y^2}$ до $\sqrt{1-y^2}$ и "прогоняем" её по всем $x$. А что мы делаем с сегментом? Или мы должны взять некий малый (бесконечно малый?) сегмент и интегрировать его на $[0, 2\pi]$?

[provincialka]

Ну, чему равен интеграл от константы $\frac{1}{\pi}$ по некоей области?

И, с другой стороны, по какой области надо интегрировать, чтобы получить $F(x,y)$?

-- 12.12.2014, 00:06 --

Greg_st в сообщении #944604 писал(а):

Подправил прошлое сообщение.

И совершенно напрасно. Все равно неверно. Верно было в первом посте.

[Greg_st]

Интеграл от константы у нас равен разности верхней и нижней границы интегрирования, помноженному на константу, а в случае двойного интеграла - площади искомой области, помноженной на константу.
Нас интересует круг площадью $\pi R^2$ или $\pi$, если сразу учесть, что $R=1$.
Получается, что $F(x,y)=1$, а я выдумал себе проблему на ровном месте, пытаясь найти отличное от единицы значение? Собственно, в третьем посте я пытался записать распределение таким образом, чтобы получить функцию вида:

$$\begin{cases} F(x,y)=0,&\text{если [$x$ или $y$ не входят в область и лежат на $-\infty$];} \\ F(x,y)=F(x,y),&\text{если $x$ и $y$ входят в область;} \\ F(x,y)=1,&\text{если [$x$ или $y$ не входят в область и лежат на $+\infty$];} \end{cases}$$

Т. е. попытался верхом усесться на определение искомой функции.

[provincialka]

Greg_st в сообщении #944630 писал(а):

Нас интересует круг площадью $\pi R^2$ или $\pi$, если сразу учесть, что $R=1$.

Разве? Меня так - не интересует. И я так и не увидела от вас определения функции распределения.
О! Вы считаете, то, что у вас записано, это $F$? Я только что заметила букву. О, нет! Определение на стол!

[Greg_st]

Для системы случайных величин $(X,Y)$ функция распределения $F(x,y)$ есть вероятность совместного исполнения условий $(X<x)$ и $(Y<y)$. В нашем случае, как мне кажется, лучше исходить из геометрического смысла - вероятность точки $(X,Y)$ (вектора, в нашем случае) попасть в бесконечный квадрат, лежащий левее и ниже точки $(x,y)$. На всякий случай уточню, что в первом и третьем посте я написал плотность распределения, а в последнем - функцию распределения. Вернее, я указал, какого вида функцию ожидал получить из плотности распределения. В учебниках расписывают похожим способом, и, как я подумал, сработает традиционное "два способа - формальный и оптимизированный под задачу". Собственно, я пытался указать именно "формальный" способ.
Просто на всякий случай, дабы исключить недопонимание.

Насчет области - я именно не понимаю, как ужать вместе "бесконечный квадрат" и круг из задачи. Т. е. даже если нижний предел остаётся минус бесконечностью, я не могу понять, каким должен стать верхний предел.

[Otta]

Greg_st

Greg_st в сообщении #944643 писал(а):

Для системы случайных величин $(X,Y)$ функция распределения $F(x,y)$

Она Вам не нада. Вам нужно распределение суммы. Вы его $Z$ обозначили. Кстати, это точно вектор?

[Greg_st]

Но ведь речь идёт о сумме двух векторов. Разве в данной задаче Z может не быть вектором?

Цитата:

Она Вам не нада.

Простите, но тогда я совершенно запутался. Или Вы имеете в виду, что мне следует искать функцию распределения от $f(x)=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}$, и через неё двигаться к искомому вектору?
UPD. Мысли начинают плыть, поэтому лучше поутру их соберу и ещё раз прогоню. Сейчас, чувствую, моё понимание происходящего будет только снижаться.

[Otta]

Нет, это я запуталась.
Давайте еще раз:
У Вас есть два независимых вектора (верно?), каждый из которых распределен в круге равномерно. Нужно найти плотность их суммы.
Не суммы компонент одного вектора?
Так?

(Я никак не могу соотнести это с тем, что Вас потом тянет смотреть на распределение координат и на их сумму. Что же реально нужно?)

[provincialka]

Ой! А я за разговорами про сумму-то и забыла!

[Greg_st]

Требуется найти плотность распределения суммы двух независимых случайных векторов, именно в такой формулировке. А тянет к координатам меня от того, что я не нашел способа что-либо сделать с распределениями векторов (грубо говоря - есть формула, которая позволяет найти совместное распределение двух случайных величин, а вот подхода для совместного распределения двух систем случайных величин мне найти не удалось).
Я предположил, что, исходя из свойства суммы векторов, нам удастся найти распределение отдельно $x$ и $y$ координат искомого вектора, а после соотнести их. А координаты искомого вектора, в свою очередь, равны сумме координат изначальных векторов. Отсюда мое стремление выкопать себе яму поглубже найти распределение суммы координат. Благо, в нашем случае, можно найти распределение одной координаты искомого вектора и "отразить" его для второй координаты, что усилило мою уверенность в правильности подхода.
Впрочем, интеграл из первого поста эту уверенность изрядно охладил.
На этом мне всё-таки придется откланяться. Благодарю за помощь и надеюсь, что сможем завтра продолжить. Столько времени убил на эту задачу, что уже принципиально хочется не столько сдать, сколько понять, на что я собственно убил столько времени.

[Otta]

Greg_st в сообщении #944669 писал(а):

Требуется найти плотность распределения суммы двух независимых случайных векторов, именно в такой формулировке. А тянет к координатам меня от того, что я не нашел способа что-либо сделать с распределениями векторов (грубо говоря - есть формула, которая позволяет найти совместное распределение двух случайных величин, а вот подхода для совместного распределения двух систем случайных величин мне найти не удалось).

Окей.
Тогда возвращаемся обратно. Вы меня настолько сбили с толку своим решением, что я за ним даже не увидела формулировки. :) Прошу извинить.
Итак, сначала.
Тогда формула

Greg_st в сообщении #944548 писал(а):

$$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(x-t)dt$$

хорошая, поскольку предназначена именно для суммы независимых случайных величин. Но обратите внимание - величин. Одномерных. И одномерность области интегрирования это лишний раз подчеркивает.
А если формулу откорректировать, вот так:

$$f(x)=\int\limits_{\mathbb R^2}f_1(t)f_2(x-t)dt$$

где $f_i$ - это плотности каждого слагаемого, то $f$ будет искомой плотностью суммы.
В Вашем случае $f_i$ - каждая - распределена равномерно на круге радиуса один.