2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теоретическая Гидромеханика
Сообщение11.12.2014, 09:38 


11/12/14
148
Здравствуйте. Я не знаю, можно ли задать тут такой вопрос, ибо я не нашел ни одной темы, посвященной теоретической гидромеханике. Но все же попробую:
Есть такая задача: Диполь с осью параллельной оси Ох, расположенный на расстоянии h от оси Ox, обтекается равномерным потоком вдоль непроницаемой пластинки. Задан момент диполя, плотность и скорость набегающего потока. Определить силу, действующую на пластинку.
Что я сделал: я записал суммарный комплексный потенциал : от равномерного потока и от диполя:

\[w(z) = Uz - \frac{m}{{2\pi (z - ih)}}\]

Берем производную:

\[\frac{{dw}}{{dz}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(z - ih)}^2}}}\]

Теперь, т.к. движение установившееся, то можем воспользоваться формулой Блазиуса-Чаплыгина:

\overrightarrow R  = 0.5\rho \oint\limits_L {{{(\frac{{dw}}{{dz}})}^2}dz},

где у нас L - любой контур, содержащий (в данном случае) нашу пластинку. Я беру интеграл по замкнутой области ( верхний полукруг радиуса R)
он равен сумме интеграла по пластинке на отрезке [-R,R] и интеграла по контуру половины окружности.

Вот в чем проблема : интеграл по замкнутой области через вычеты равен 0, т.к. квадрат производной уже функция, представленная в виде ряда Лорана в окрестности точки ih, и там нет минус первого коэффициента.
Интеграл по [-R;R] - это нужно найти, а интеграл по контуру у меня не получается найти, он почему-то расходится, либо я что-то не так делаю. Собственно, в этом и заключается вопрос. Может, нужно как-то по-другому искать силу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Непроницаемую пластину потеряли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 15:16 


11/12/14
148
Утундрий в сообщении #944787 писал(а):
Непроницаемую пластину потеряли.


\[\frac{{\partial \phi }}{{\partial n}} = 0\]

Вы об этом ( условие непротекания )?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
TripleLucker в сообщении #944138 писал(а):
равномерным потоком вдоль непроницаемой пластинки.
Я об этой непонятно как ориентированной и неизвестно где расположенной пластинке. Вот если не терять условий, переписывая их на форум, то было бы понятно зачем нам задана величина $h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 17:04 


11/12/14
148
Утундрий в сообщении #944930 писал(а):
TripleLucker в сообщении #944138 писал(а):
равномерным потоком вдоль непроницаемой пластинки.
Я об этой непонятно как ориентированной и неизвестно где расположенной пластинке. Вот если не терять условий, переписывая их на форум, то было бы понятно зачем нам задана величина $h$.


Так я просто переписал условие из задачника. Я пока еще даже не использовал никакие условия, потому что проинтегрировать не получается. Пластинка у меня лежит на оси Ох, ось Оy проходит через h. Контур я уже описал. Ориентация положительная (хотя не пойму, как это поможет в данной ситуации). Ну вроде все про условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Итак, верхняя полуплоскость заполнена идеальной жидкостью, имеющей на бесконечности направленную в сторону положительных иксов скорость $U$. Ось абсцисс является непроницаемой идеальной стенкой. В точке $(0,h)$ задан диполь интенсивности $m$, ориентированный также по иксу. Необходимо найти силу, действующую на пластинку. Для этого сперва надобно расчитать распределение скорости по стенке. Ибо, зная скорость, из уравнения Бернулли получим давление, проинтегрировав которое получим и силу. Причём, для конечности результата нужно предположить, что жидкость обтекает пластинку и снизу, но влияние диполя туда не распространяется.

Теперь, что делаете вы. Берёте и тупо складываете потенциал равномерного поля скорости и означенного в условии диполя. Ну, вери корошо. А посчитайте-ка теперь, какие будут иметь место быть компоненты скорости на оси исков? Там вас будет ждать нехороший сюрприз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 22:05 


11/12/14
148
Утундрий в сообщении #945071 писал(а):
Итак, верхняя полуплоскость заполнена идеальной жидкостью, имеющей на бесконечности направленную в сторону положительных иксов скорость $U$. Ось абсцисс является непроницаемой идеальной стенкой. В точке $(0,h)$ задан диполь интенсивности $m$, ориентированный также по иксу. Необходимо найти силу, действующую на пластинку. Для этого сперва надобно расчитать распределение скорости по стенке. Ибо, зная скорость, из уравнения Бернулли получим давление, проинтегрировав которое получим и силу. Причём, для конечности результата нужно предположить, что жидкость обтекает пластинку и снизу, но влияние диполя туда не распространяется.

Теперь, что делаете вы. Берёте и тупо складываете потенциал равномерного поля скорости и означенного в условии диполя. Ну, вери корошо. А посчитайте-ка теперь, какие будут иметь место быть компоненты скорости на оси исков? Там вас будет ждать нехороший сюрприз.


Хм, преподаватель сказал, что потенциал правильный. Или вы имеете ввиду, что я после потенциала не то делаю? Мне уже предложили посчитать силу через давление. А как рассчитать распределение скорости по стенке? Не ругайтесь, пожалуйста, я просто действительно плохо это понимаю, семинаров за полгода было всего 4 штуки, а по одним учебникам понимать не научишься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
TripleLucker в сообщении #945181 писал(а):
преподаватель сказал, что потенциал правильный.
Преподаватель не в курсе, что это типичная задача на метод отражения? Ну, видимо, преподаватель и автор задачи - существенно разные люди.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 22:50 


11/12/14
148
Утундрий в сообщении #945193 писал(а):
TripleLucker в сообщении #945181 писал(а):
преподаватель сказал, что потенциал правильный.
Преподаватель не в курсе, что это типичная задача на метод отражения? Ну, видимо, преподаватель и автор задачи - существенно разные люди.


А, я, кажется, понял, мы помещаем еще один диполь с нижней стороны пластины симметрично данному. И вот это потенциал уже будет правильный? Я что-то такое помню по другим задачам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
TripleLucker в сообщении #945195 писал(а):
И вот это потенциал уже будет правильный?
Есть лишь один способ проверить: вычислить скорость на непроницаемой (по условию) стенке и убедиться, что стенка и правда непроницаема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение12.12.2014, 23:06 


11/12/14
148
Утундрий в сообщении #945197 писал(а):
TripleLucker в сообщении #945195 писал(а):
И вот это потенциал уже будет правильный?
Есть лишь один способ проверить: вычислить скорость на непроницаемой (по условию) стенке и убедиться, что стенка и правда непроницаема.


Спасибо! Я попробую и расскажу, что получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение13.12.2014, 16:37 


11/12/14
148
Цитата:
вычислить скорость на непроницаемой (по условию) стенке


Я вот пытаюсь, но мне кажется, что я что-то не то делаю. Про уравнение Бернулли и интеграл от давления понятно. А вот распределение скорости по стенке не очень.
Нужно взять производную уже от нового суммарного потенциала (где два диполя) и навесить сопряжение? Это и будет нужная скорость или нет? Если б я понимал, как процесс в формулах происходит, и что и когда нужно использовать..

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение13.12.2014, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Запишите потенциал о трёх членах, продифференцируйте его, возьмите $Im$ от производной...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение13.12.2014, 20:32 


11/12/14
148
Утундрий в сообщении #945596 писал(а):
Запишите потенциал о трёх членах, продифференцируйте его, возьмите Im от производной...


Я, наверное, совсем потерянный случай, но вот, что получается:

\[w(z) = Uz - \frac{m}{{2\pi (z - ih)}} - \frac{m}{{2\pi (z + ih)}}\]

Дифференцируем:

\[\frac{{dw}}{{dz}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(z - ih)}^2}}} + \frac{m}{{2\pi {{(z + ih)}^2}}}\]

Берем мнимую часть:

\[\begin{array}{l}
\frac{{dw}}{{dz}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(z - ih)}^2}}} + \frac{m}{{2\pi {{(z + ih)}^2}}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(x + iy - ih)}^2}}} + \frac{m}{{2\pi {{(x + iy + ih)}^2}}} = \\
 = U + \frac{m}{{2\pi ({x^2} - {{(y - h)}^2} + 2x(y - h)i)}} + \frac{m}{{2\pi ({x^2} - {{(y + h)}^2} + 2x(y + h)i)}} = \\
 = U + \frac{{m({x^2} - {{(y - h)}^2} - 2x(y - h)i)}}{{2\pi ({{({x^2} - {{(y - h)}^2})}^2} - {{(2x(y - h)i)}^2})}} + \frac{{m({x^2} - {{(y + h)}^2} - 2x(y + h)i)}}{{2\pi ({{({x^2} - {{(y + h)}^2})}^2} - {{(2x(y + h)i)}^2})}}
\end{array}\]


\[Im(\frac{{dw}}{{dz}}) = \frac{{ - 2mx(y - h)}}{{2\pi {{({x^2} + {{(y - h)}^2})}^2}}} + \frac{{ - 2mx(y + h)}}{{2\pi {{({x^2} + {{(y + h)}^2})}^2}}}\]

Только вот при \[y = 0\] зануляется скорость. Это, наверное, нормально. Или все-таки плохо?
Дальше уравнение Бернулли:


\[\frac{{{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{p}{\rho } + gy = const\]


Вот отсюда выразить давление и взять интеграл нужно, получается. Так ведь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая Гидромеханика
Сообщение13.12.2014, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
TripleLucker в сообщении #945694 писал(а):
зануляется скорость. Это, наверное, нормально. Или все-таки плохо?
Не вся скорость, а только её $y$-составляющая. Это и значит, что $y=0$ действительно непроницаемая стенка. Теперь, чтобы найти давление, нужно посчитать на стенке $x$-составляющую скорости.

TripleLucker в сообщении #945694 писал(а):
альше уравнение Бернулли:
$\frac{{{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{p}{\rho } + gy = const$
Член с $g$ можно выбросить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group