2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 21:43 


12/11/13
46
Добрый день!

Ищу контрпример к одной гипотезе. Помогите, пожалуйста, подобрать такую функцию $f(x):\ \mathbb{R}_{\ge 0} \mapsto \mathbb{R}$, что
1) $f(x)$ непрерывная,
2) $f(x)$ неубывающая, $f^\prime(x)\ge 0$ $\forall x\ge 0$ ,
3) $f(x) \to \infty$ при $x \to \infty$,
но
4) $\lim_{x\to \infty}\left(f(e^x)-f(x)\right) < \infty$.

Или показать, что таких функций нет. Заранее спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 22:05 
Аватара пользователя


28/04/14
572
матмех спбгу
Примените теорему Лагранжа к выражению в последнем пределе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 22:15 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Arastas, можете почитать про функцию $\log^*$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 22:36 


12/11/13
46
demolishka писал(а):
Примените теорему Лагранжа к выражению в последнем пределе.

Это Вы про теорему о среднем значении? Пробовал, но конструктивного решения пока не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Скорее всего, конструктивного в Вашем смысле решения нет. Конструктивное в обычном смысле - есть, и его уже привёл patzer2097.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 23:19 


12/11/13
46
patzer2097 в сообщении #937586 писал(а):
Arastas, можете почитать про функцию $\log^*$

Спасибо, интересная функция.
Я правильно понимаю, что она принимает только целочисленные значения? Тогда она не непрерывна, так?

Не написал сразу, но мне нужно такое решение, где можно аналитически записать производную функции в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Ну, по ней легко построить непрерывную.
А ответом на второе пожелание является моё предыдущее сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение28.11.2014, 23:42 


12/11/13
46
ИСН в сообщении #937615 писал(а):
Ну, по ней легко построить непрерывную.

Вы не могли бы, пожалуйста, пояснить, как именно достроить непрерывную? Тоже как рекурсивную, не в явной форме?

ИСН в сообщении #937615 писал(а):
А ответом на второе пожелание является моё предыдущее сообщение.

В том смысле, что такой функции, скорее всего, нет? А можно это как-то строго аргументировать? Я хочу чётче для себя в этом вопросе разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение29.11.2014, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Arastas в сообщении #937618 писал(а):
Вы не могли бы, пожалуйста, пояснить, как именно достроить непрерывную?
Ну взять точки и тупо соединить наклонными прямыми. Да, пожалуй, есть в этом что-то... неявное.
Arastas в сообщении #937618 писал(а):
В том смысле, что такой функции, скорее всего, нет?
Да может, что и есть, но...
Тут у нас как-то искали функцию, имитирующую поведение логарифма (обычного, не супер), но без использования логарифма как такового. Нашли! Вид такой, что лучше бы не находили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение29.11.2014, 00:45 


12/11/13
46
Arastas в сообщении #937618 писал(а):
Тут у нас как-то искали функцию, имитирующую поведение логарифма (обычного, не супер), но без использования логарифма как такового. Нашли! Вид такой, что лучше бы не находили.

В принципе, мне хватит какого-то способа утверждать, что существует какая-то кусочно-непрерывная функция, интеграл которой обладает желаемыми свойствами. Так что если соединить прямыми, то мне подойдет.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение29.11.2014, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3762
Arastas в сообщении #937618 писал(а):
В том смысле, что такой функции, скорее всего, нет?

Такие функции можно строить самому, но для этого нужно знать чуть больше стандартных мат.приёмов.

Определитесь, что Вам нужно. Я Вам немного помогу, но без предварительных самостоятельных попыток все эти идеи останутся непонятны.
1) Проще всего строить ступенчастую функцию, в которой ступеньки будут чем-то соединяться достаточно гладко.
2) Вам нужно разобраться, как соединять ступеньки между собой. Есть сложный [пока для вас] способ, который делает это бесконечно гладко, но здесь вполне сойдёт перенесённый в нужную точку и деформированный простым образом синус. Это всё Вам должно быть уже известно и доступно для использования.
3) По оси $OX$ нужно будет двигаться быстрее, чем экспонента. Вполне подойдёт скорость $n^n$.
4) По оси $OY$ нужно двигаться очень медленно, но бесконечно высоко. Для этого подойдут частичные суммы гармонического ряда.

С учётом сказанного идея функции будет такой:
$
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
3/2, & x\in [0;4+\pi/2];&
\\
\sum\limits_{k=1}^{n}1/k, & 
x\in (n^n+\pi/2; (n+1)^{n+1}-\pi/2), &
n\geq 2;
\\
\text{деформированный синус},& 
x\in [n^n-\pi/2; n^n+\pi/2],&
n>2;
\end{array}\right.
$

Получилось не так уж сложно. Если Вы почувствуете, что это одна из нужных Вам функций, которую легко продифференцировать в явном виде, тогда остальная работа за Вами:
Разобраться, как соединять ступеньки синусом;
Убедиться, что все нужные условия выполнены. Заодно исправить мои неточности, которые, скорее всего, найдутся, но, я надеюсь, не будут принципиальными (я не ставил целью проделать за Вас всю работу :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение30.11.2014, 23:07 


12/11/13
46
grizzly в сообщении #937880 писал(а):
Получилось не так уж сложно.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите подобрать функцию под требования
Сообщение30.11.2014, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3762
Но ошибка там есть, осторожно, нужно будет ещё немного смекалки. Самое главное понять идею, остальное -- техника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group