2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 07:57 


11/04/13
116
$f(x,y,z)=3x^2 +y^2+5z^2 -5x-3y+5z \Rightarrow  $min
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 4x+4y=3 \\
 4y+5z=4 \\
x,y,z  \geqslant 0 
\end{array}
\right.$$

Решение:
$\frac{df}{dx} = 6x-5$
$\frac{df}{dy}=2y-3$
$\frac{df}{dz}=10z+5$
$\frac{d^2 f}{dx^2} =6$
$\frac{d^2 f}{dy^2}=2$
$\frac{d^2 f}{dz^2}=10$
строим матрицу на главной оси разместим $6$, $2$ и $10.$
по критерию Сильвестра видим определители все положительны, значит $f(x,y,z)$ - выпукла книзу
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 6x-5=0 \\
 2y-3=0 \\
10z+5=0
\end{array}
\right.$$
решаем эту систему, находим $x$,$y$ и $z$
видим, что $z=- \frac{1}{2}$
но из начального условия видим, что $z \geqslant0$

значит из начального условия выразим $z$
$z= \frac{4-4y}{5}$
подставим в нашу функцию $f(x,y,z)$
получим $f(x,y,z)=3x^2 + \frac{21y^2}{5}   -5x - \frac{67y}{5} + \frac{36}{5} $
$f'_x =6x-5$
$f'_y = \frac{42y}{5}  - \frac{67}{5} $
затем $$\left\{
\begin{array}{rcl}
 6x-5=0 \\
 \frac{42y}{5}  - \frac{67}{5}=0 \\
\end{array}
\right.$$
находим $x,y,z$ и снова видим, что $z$ получилась отрицательна
Как должно выглядеть на самом деле решение этого задания этим методом?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10802
Казань
Сначала надо понять условие задачи, что "дано". Я подозреваю, что система в условии означает границу области. Тогда надо исследовать ее внутренность и границы. Если же это сама область - то сразу выразить все переменные через одну и получить одномерную задачу.

В любом случае никакого Сильвестра не надо: находите критические точки, подставляете их в функцию и ищете среди значений наименьшее..

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 11:37 


02/11/08
1172
Функция трех переменных на отрезке (если была бы область пространственная, то стояли бы неравенства в ограничениях, а в условии в ограничениях стоят равенства). Отрезок параметризуется и превратит исходную функцию в функцию одной переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 14:01 


11/04/13
116
Yu_K
значит выражаем из первого уравнения нашего условия $x= \frac{3-4y}{4}$
из второго $z=\frac{4-4y}{5}$
подставим в нашу функцию.
в итоге получим $f(x,y,z)= \frac{576y^2 -1032y+411}{80}$
$f'_y=\frac{1152y}{80} -1032$
приравниваем производную к 0 и находим $y= \frac{1032\cdot80}{1152}=71.6$
дальше находим $x=\frac{3-4\cdot71.6}{4} <0$
в итоге видим, что $x$ и $z$ отрицательные, но ведь в начальных условиях сказано $x,y,z  \geqslant 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 14:37 


02/11/08
1172
Условие положительности переменных $x,y,z$ даст ограничение на диапазон изменение переменной $y$. Например найдите максимум и минимум $y(x)=x^2$ на отрезке от $2$ до $6$ включительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 15:27 


11/04/13
116
Yu_K
минимум $4$, максимум $36$
germ9c в сообщении #930844 писал(а):
Yu_K
значит выражаем из первого уравнения нашего условия $x= \frac{3-4y}{4}$
из второго $z=\frac{4-4y}{5}$
подставим в нашу функцию.
в итоге получим $f(x,y,z)= \frac{576y^2 -1032y+411}{80}$
$f'_y=\frac{1152y}{80} -1032$
приравниваем производную к 0 и находим $y= \frac{1032\cdot80}{1152}=71.6$
дальше находим $x=\frac{3-4\cdot71.6}{4} <0$
в итоге видим, что $x$ и $z$ отрицательные, но ведь в начальных условиях сказано $x,y,z  \geqslant 0$

значит по другому решать надо? или что дальше нужно предпринять, не могу понять

-- 14.11.2014, 16:29 --

нужно именно этим методом решать, а потом это же задание методом множителей Лагранжа, там так же получается отрицательное значение переменной

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10802
Казань
germ9c в сообщении #930867 писал(а):
нужно именно этим методом решать, а потом это же задание методом множителей Лагранжа,

Значит, все-таки, это не отрезок. Это описание границ некоего многогранника. Вы все-таки уточните задание: что там написано перед формулами?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 17:17 


11/04/13
116
решить задачу оптимизации дана функция и условия. и на этом всё.
В занятиях разбирали случай , когда в условиях вместо равенства, дано неравенство. Находили $x,y,z$ -будет точка минимума/максимума без учета ограничений. Оказалось, что если подставить $x,y,z$ в начальные условия, окажется, что неверно.
Поэтому в множестве внутри нет точки минимума/максимума, значит она лежит на границе. и поэтому одно из неравенств заменим на равенство. выразим одну переменную через другую и подставим в нашу функцию - на этом конец

А в нашем случае нашли точку минимума без учета ограничений. А если подставить в условия , то неверно. и наверное можно убрать ограничения $x,y,z \geqslant0$ , и выразить одну переменную через другие и найдем точку. она и будет

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение14.11.2014, 20:51 


02/11/08
1172
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 4x+4y=3 \\
 4y+5z=4 \\
x,y,z  \geqslant 0 
\end{array}
\right.$$
Отсюда
$$x=(3-4y)/4$$$$z=(4-4y)/5$$
И тогда параметрическое уравнение прямой
$$y=t$$
$$x=(3-4t)/4$$
$$z=(4-4t)/5$$
Условие неотрицательности переменных $$(3-4t)\geqslant 0,t\geqslant 0,(4-4t) \geqslant 0$$ дает диапазон изменения $t$ а именно $0\leq t\leq \frac{3}{4}$ - и следовательно имеем отрезок. Ваша функция принимает экстремальные значения на его концах - проверьте это.

А насчет функции Лагранжа - можно попробовать добавить пару ограничений с множителями Лагранжа к целевой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение15.11.2014, 11:44 


11/04/13
116
Yu_K
а если решать методом множителей Лагранжа, то функция будет
$f(x,y,z, \lambda_1,  \lambda_2)= 3x^2 +y^2 +5z^2 -5x-3y+5z + \lambda_1 (4x+4y-3) + \lambda_2 (4y+5z-4)$
Находим частные производные по $x,y,z$ выражаем из них $ \lambda_1 , \lambda_2$
и сделаем так же, как вы показали раньше другим методом - тоесть запараметризуем $y=t$ , выразим лямбды и остальные переменные через параметр t и т.д
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение15.11.2014, 14:08 


02/11/08
1172
germ9c в сообщении #931231 писал(а):
а если решать методом множителей Лагранжа, то функция будет
$f(x,y,z, \lambda_1,  \lambda_2)= 3x^2 +y^2 +5z^2 -5x-3y+5z + \lambda_1 (4x+4y-3) + \lambda_2 (4y+5z-4)$
Находим частные производные по $x,y,z$ выражаем из них $ \lambda_1 , \lambda_2$
и сделаем так же, как вы показали раньше другим методом - то есть запараметризуем $y=t$ , выразим лямбды и остальные переменные через параметр t и т.д
Верно?

$f(x,y,z, \lambda_1,  \lambda_2)= 3x^2 +y^2 +5z^2 -5x-3y+5z + \lambda_1 (4x+4y-3) + \lambda_2 (4y+5z-4)$
Находим частные производные по $x,y,z,\lambda_1 , \lambda_2$ выражаем из них $ x,y,z,\lambda_1 , \lambda_2$
Но это мы найдем экстремумы на всей прямой (пересечение двух плоскостей) $4x+4y-3=0$, $4y+5z-4=0$. А в Вашем случае получается в функцию Лагранжа надо добавить еще три слагаемых $\lambda_3 x + \lambda_4 y + \lambda_5 z$. Ну и там уже тяжело все анализировать.
Попробуйте разобраться с подходом Лагранжа на аналогичном простом примере типа $F(x,y)=x^2+(y-3)^2$ при условиях $x+y=\frac {1}{2}$ и $0\leq x \leq 1$ - здесь тоже отрезок и квадратичная функция на плоскости. Метод Лагранжа дает условие коллинеарности в точках экстремума векторов градиентов ограничений и градиента оптимизируемой функции. А случаи угловых точек границы (крайних точек отрезков) можно рассматривать отдельно.
Поэтому в Вашем случае, видимо можно метод Лагранжа использовать для поиска точек экстремума на прямой - они не попадут в заданные границы - ну и потом уже работать с граничными точками отрезка - просто просмотрев там значения оптимизируемой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение15.11.2014, 16:17 


11/04/13
116
Yu_K
$f(x,y,z)=3x^2 +y^2 +5z^2 -5x -3y+5z \to $min
при условиях
$4x+4y=3$
$4y+5z=4$
$x,y,z \geq 0$

Мое решение:
$f(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=3x^2 +y^2 +5z^2 -5x -3y+5z +\lambda_1 (4x+4y-3) +\lambda_2 (4y+5z-4)$
находим частные производные по $x,y,z,\lambda_1,\lambda_2$
$f'_x =6x-5+4\lambda_1$
$f'_y = 2y-3 +4\lambda_1 + 4\lambda_2$
$f'_z= 10z+5+5\lambda_2$
$f'_{\lambda_1} = 4x+4y-3$
$f'_{\lambda_2} = 4y+5z-4$
приравниваем частные производные к нулю, выражаем x и z из последних двух, выражаем $\lambda_1, \lambda_2$из 1 и 3, и все подставляем во второе уравнение.
Получим:
$2y-3 +4\lambda_1 + 4\lambda_2 =0$$
...
$\frac{72y}{5} = \frac{129}{10}$
$y=\frac{129}{144}$
$x=\frac{-21}{144}$
$z=\frac{1}{12}$
так как $x<0$, но по начальным условиям $x,y,z \geq 0$
и значит в множестве внутри нет точки минимума, значит лежит на границе.
т.к $x$ не удовлетворяет условию, значит на границе $x=0$
и значит используя начальные условия находим оставшиеся переменные , значит $y=\frac{3}{4}$ , $z=0.2$
и значит $f_{\min} = f(0; 0,75 ; 0,2)= -0,4875$
Верно решение?
ух ты, вроде кажись верно, так как вашим способом через параметризацию ответ $\frac{-39}{80}$ а методом Лагранжа $-4875$, они одинаковы

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение15.11.2014, 16:50 


02/11/08
1172
germ9c в сообщении #931317 писал(а):
Верно решение?
ух ты, вроде кажись верно

кажись нет - проверяйте свое решение - похоже нужно взять второй конец отрезка.

И нарисуйте схематично график функции одной переменной на отрезке $0\leq t \leq \frac {3}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение15.11.2014, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3187
Ух ты! мне понравилась Вольфрам-аргументация.
Но вроде всё верно, только нужно в ограничениях не произведение к нулю приравнивать, а каждый сомножитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти минимум целевой функции
Сообщение15.11.2014, 18:52 


02/11/08
1172
grizzly в сообщении #931357 писал(а):
в ограничениях не произведение к нулю приравнивать, а каждый сомножитель.

- это одно и тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group