2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 20:46 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Здравствуйте. Возник вопрос, как оценить норму разностного оператора в $L^{2}(\Omega_h)$

$$\Delta u_{i,j,k}=\Delta_x u_{i,j,k}+\Delta_y u_{i,j,k}+\Delta_z u_{i,j,k}. $$

Есть информация, что это будет

$$\left\|\Delta\right\|_{L^{2}(\Omega_h)}=\max\limits_{n}|\lambda_{n}|, $$
где $\lambda_{n}$ -- максимальное собственное значение дискретной задачи

$$\Delta u_{i,j,k}=\lambda u_{i,j,k} \text{ in } \Omega_h$$
с соответствующими краевыми условиями. Подскажите, верно ли это, и если да, как на эту норму явно выйти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 21:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
Это верно постольку, поскольку разностный оператор симметричен (как и исходный дифференциальный, и как оно и должно быть при грамотных реализациях граничных условий). Найти норму явно -- вообще говоря, никак; но никому это явно и не нужно -- вполне достаточно тривиальной и при этом асимптотически точной оценки сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 21:54 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Отлично, небольшое уточнение (глупое, наверное): равноправно ли тогда оценивать оператор Лапласа упомянутым образом, если, скажем, в исходной параболической задаче он встречается вместе с чем-то другим?

$$u^{n+1}=Su^{n} $$

$$S=E+\Delta t A=E+\tau(\Delta +...) $$

$$\left\|S\right\| \le \left\|E\right\|+\tau \left\|\Delta\right\|+\tau \left\|...\right\| $$

upd. Вопрос снимается, ответ -- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6924
Hogtown
А как Вы записываете этот самый разностный оператор, с делителем $h^2$ или нет? Если да, то ничего лучше оценки $\le Mh^{-2}$ не получите—и поделом! Ведь сам обычный оператор Лапласа он вообще неограниченный.

Но скорее всего Вам нужно нечто другое—оценка решения. А это совсем другое дело!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 22:47 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
Red_Herring в сообщении #928473 писал(а):
ничего лучше оценки $\le Mh^{-2}$ не получите—и поделом!

Немножко неточно. Не поделом, а по делу. Именно эта оценка нужна для устойчивости явной схемы.

Но вот только именно она и нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 23:21 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Red_Herring
Вместе с $h^2$. Моя ошибка здесь в том, что использовать надо не просто $\Delta$, а $-\Delta$, и тогда оператор перехода
$$S=E-\tau(-\Delta+C) $$
уже так просто не оценить.

Раз уже здесь собрались специалисты, посоветуйте, пожалуйста, как можно оценить оператор перехода

$$S=E-\tau(-\Delta+C) ,$$
где $C$ -- не самосопряжённый и не положительный оператор? Уже давно роюсь в Самарском-Гулине, там нужно пользоваться неравенством

$$((-\Delta+C)x,x)-0.5\tau((-\Delta+C)x,(-\Delta+C)x)\ge 0 ,$$
но оно может для некоторых $x$ не выполняться, тогда такой метод не годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6924
Hogtown
А зачем Вам оператор перехода? Если его норма $\le 1$, то мы имеем устойчивость, если $\le 1+M\tau $, то тоже имеем (на конечном интервале).

Вообще то для теплопроводности явная разностная схема условно устойчива, а неявная—безусловно устойчива; но для 1мерного уравнения работает метод прогонки, а для многомерного—нет, но там есть фокус—схемы с расщеплением, которые позволяют использовать прогонку и безусловно устойчивы.

Хорошая литература мне неизвестна, разностные схемы—не моя область, лично я учил по устным лекциям С.К.Годунова, который все это и придумал. Но если Вы имеете в виду Тихонова и Самарского "Уравнения Мат. Физики", то хотя сама книга написана прилично, эта глава—абсолютно невразумительна: см. здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение08.11.2014, 23:52 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Red_Herring
Мне как раз для этого и нужна оценка, чтобы получить условие на шаги. Уравнение, на самом деле, 3-мерное, оператор Лапласа там не один, поэтому там расщепление не работает (появляются младшие производные, невозможно обосновать устойчивость, практика подтверждает, кроме того, в монографии Марчука младших производных вообще нету).

Я пытаюсь что-то выудить из книги "Устойчивость разностных схем" (Самарский, Гулин). Язык ужасен, надеюсь найти кого-то, кто поможет разобраться.



Насчет Марчука могу ошибаться, смотрел 2 книги, Яненко и Марчука, но либо очень плохо смотрел, либо действительно там моего случая нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение09.11.2014, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6924
Hogtown
А что, младшие производные мешают расщеплению?

cool.phenon в сообщении #928524 писал(а):
"Устойчивость разностных схем" (Самарский, Гулин). Язык ужасен, надеюсь найти кого-то, кто поможет разобраться.


Охотно верю.
cool.phenon в сообщении #928524 писал(а):
либо очень плохо смотрел, либо действительно там моего случая нет

Либо авторы умеют все хорошо запрятать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка разностного оператора Лапласа
Сообщение09.11.2014, 00:31 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Red_Herring

Расщепление возможно, но схема расходится, это примерно как с прогонкой для ОДУ 2 порядка,когда не выполняется дост.условие сходимости прогонки, а необходимого нет

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group