Свертка двух треугольных законов распределения

[valera_an2]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться. Есть задача найти закон распределения случайной величины $A$, где $A$ - функция от нескольких переменных.$A=\frac B C\cdot\frac{D-E}{F-E}$.

$B$ и $C$ имеют нормальный закон распределения. $D$, $E$, $F$ имеют равномерный закон распределения.

Было решено прологарифмировать функцию, тогда получим сумму логарифмов случайных величин. Затем путем нескольких попарных преобразований сверткой необходимо получить закон распределения $\operatorname{Ln}(A)$, а затем останется вернуться к $A$ и получить закон распределения исходной случайной величины.

Я не прошу решить все. Мне нужна лишь пара советов.

1. Когда прологарифмировали функцию, получили $\operatorname{Ln}(A)=\operatorname{Ln}(B)-\operatorname{Ln}(C)+\operatorname{Ln}(D-E)-\operatorname{Ln}(F-E)$. Свертку $\operatorname{Ln}(B)$ и $\operatorname{Ln}(C)$ сделать мне представляется возможным.
Вопрос по $\operatorname{Ln}(D-E)$ и $\operatorname{Ln}(F-E)$. Величины $(D-E)$ и $(F-E)$ распределены по треугольному закону (по условию $D$, $E$, $F$ обладают равным размахом), а в треугольном законе распределения присутствует модуль. Как следует делать свертку ?

2. Если не получится сделать свертку, существует ли приближенный переход от треугольного закона к нормальному? Пакетом анализ данных в Excel получал гистограммы, они похожи на нормальное распределение, хотя теоретически распределение треугольное.

P.S. нужно все это для диплома. Функция описывает выходной сигнал прибора и таким образом хотим добавить математики. Сделать теоретический вывод, графическое решение и анализ в Excel (либо в другой программе)

Большое спасибо тем, кто прочитал, и заранее спасибо за совет!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

valera_an2
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[valera_an2]

Lia в сообщении #927777 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Спасибо!

[profrotter]

valera_an2 в сообщении #927546 писал(а):

Как следует делать свертку ?

Всё уже сделано за вас. Посмотрите что такое B-сплайны.

И да, надеюсь у вас там речь идёт о независимых случайных величинах.

[valera_an2]

profrotter в сообщении #928157 писал(а):

valera_an2 в сообщении #927546 писал(а):

Как следует делать свертку ?

Всё уже сделано за вас. Посмотрите что такое B-сплайны.

И да, надеюсь у вас там речь идёт о независимых случайных величинах.

Совершенно верно, речь идет о независимых величинах.

[profrotter]

К. Чуи Введение в вейвлеты Посмотрите стр. 145 раздел 4.2. Прямоугольная функция является B-сплайном нулевого порядка. Выполняем свёртку её с собой же и получаем В-сплайн первого порядка - симметричную треугольную функцию. Ещё пару раз свертку с прямоугольной функцией и получаем свёртку двух треугольных функций - B-сплайн 3-го порядка.

Формулы (1.4.11), (1.4.12), (4.2.4) дают способ вычисления В-сплайнов. Без этих формул, я думаю, удобно свёртку искать с использованием преобразования Фурье. Перемножить характеристические функции, соответствующие треугольномым распределениям, а затем взять обратное преобразование Фурье.

[valera_an2]

profrotter в сообщении #928307 писал(а):

К. Чуи Введение в вейвлеты Посмотрите стр. 145 раздел 4.2. Прямоугольная функция является B-сплайном нулевого порядка. Выполняем свёртку её с собой же и получаем В-сплайн первого порядка - симметричную треугольную функцию. Ещё пару раз свертку с прямоугольной функцией и получаем свёртку двух треугольных функций - B-сплайн 3-го порядка.

Формулы (1.4.11), (1.4.12), (4.2.4) дают способ вычисления В-сплайнов. Без этих формул, я думаю, удобно свёртку искать с использованием преобразования Фурье. Перемножить характеристические функции, соответствующие треугольномым распределениям, а затем взять обратное преобразование Фурье.

Спасибо!

[valera_an2]

Здравствуйте! Считал в итоге интеграл в маткаде, ничего не получилось, даже модуль посчитать не смог. Решил скачать программу mathematica, она, как оказалось считает более сложные конструкции. Посчитал плотность распределения свертки двух треугольных законов для эксперимента, получилось(но мне то нужна свертка логарифмов СВ, которые распределены по треугольному закону), потом, так как мне нужно перейти к распределению логарифма, я воспользовался формулой:
$g(y)=f(x(y))|x'(y)|$,
где $g(y)$- плотность распределения величины $y$,
$f(x)$ - плотность распределения величины $x$,
$y(x)$ - функция $y$ от случайной величины $x$,
$x(y)$- обратная функция к $y(x)$.
Соответственно имея распределение ${D-E}$ (треугольное) и ${F-E}$(треугольное), назовем их $x_1$ и $x_2$, находим плотности распределения каждой функции $y_1=\operatorname{Ln}(x_1)$ и $y_2=\operatorname{Ln}(x_2)$.
Обратная функция $x_1=\exp(y_1)$ и ее надо подставить в плотность треугольного закона, получаем
$f_1(x_1)=2-2|2-x_1|$
$g_1(y_1)=2-2|2-\exp(y_1)|\exp(y_1)$
Соответственно для второй величины аналогично
$f_2(x_2)=2-2|2-x_2|$
$g_2(y_2)=2-2|2-\exp(y_2)|\exp(y_2)$
Для упрощения себе задачи и хоть для какой-то определенности взял 2 одинаковых треугольных закона $a=0$, $b=1$.

И вот это свертку $g_1(y_1)g_2(y_2)=(2-2|2-\exp(y_1)|)\exp(y_1)(2-2|2-\exp(y_2)\exp(y_2))$ посчитать никак не получается. Все решение с комментариями я прикрепил в файле
https://drive.google.com/file/d/0B97wmb ... sp=sharing

Теперь решили с преподавателем пока немного отойти от плотности распределения выходной величины, а упростить задачу и рассмотреть плотность распределения погрешности выходного сигнала $A$, где $A$ - функция от нескольких переменных.$A=\frac B C\cdot\frac{D-E}{F-E}$.

$B$ и $C$ имеют нормальный закон распределения. $D-E$ и $F-E$ имеют треугольный закон распределения, то есть уходим в сторону от равномерных законов, и рассматриваем разность как самостоятельную величину с известным законом.

1. Можно ли считать плотности распределения погрешностей такими же как и плотности распределения случайных величин (знаю, что не грамотно, подобрать фразу не могу)?

2. Если да, то я нахожу формулу относительной погрешности как сумму относительных погрешностей компонентов, а дальше применяю формулу свертки и тогда освободимся от сложного интеграла. Немного похоже на правду?

3. Что бы Вы посоветовали сделать на моем месте?


Спасибо большое!!!