Линейное преобразования на плоскости

[prozaeck]

Здравствуйте!

Проще всего описать задачу можно так. Представим тетрадный лист в клеточку (в сетку). Зацепляем один из узлов сетки (репер) и перемещаем на некоторое расстояние (в пределах листа). При этом сетка деформируется, растягиваясь в одном направлении и сжимаясь в другом. Причем все линии остаются прямыми (с изломом) и нет деформации по периметру листа. Нужны формулы (можно матричные) этого преобразования. Сложность для меня представляет то, что реперов может быть несколько. На самом деле меня интересует только частный случай, когда все репера стягиваются в одну точку.

https://cloud.mail.ru/public/4fa9925a6f ... 011905.jpg
Для простоты реперная точка смещается горизонтально, и не стал рисовать горизонтальную сетку

[Brukvalub]

При такой чОткой постановке задачи и сама Ванга бы спасовала.

[ИСН]

Ну, поехали. Когда мы тянем узел, смещаются ли другие узлы (соседние, например)? На сколько смещаются, как это узнать?

[mihailm]

(Оффтоп)

А мне словосочетание "все реперА" понравилось

[arseniiv]

prozaeck, попробуйте нарисовать иллюстрацию (лучше из трёх частей: до, после, после-после), а то ну правда совершенно непонятно.

[ИСН]

Вы зря пользуетесь словом "линейное". К сожалению, за ним уже закрепился совершенно другой смысл. Линейное в общепринятом смысле преобразование, если уж оно оставляет на месте периметр листа, оставляло бы на месте и всё остальное (вообще всё, каждую точку).
Теперь попробуйте ещё раз объяснить, по какому закону мне найти новые координаты всех точек, после того как я сместил одну из них.

-- менее минуты назад --

Гипотеза у меня есть, но - - -

[prozaeck]

Художества здесь:
https://cloud.mail.ru/public/4fa9925a6f ... 011905.jpg

Для простоты реперная точка смещается горизонтально, и не стал рисовать горизонтальную сетку

[ИСН]

Спасибо, теперь я понял, по какому закону смещаются точки, находящиеся на одной вертикали с нашей. Как насчёт всех остальных?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

prozaeck
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[popolznev]

$(x_0, y_0)$ - исходное положение "реперной точки", $(x_1, y_1)$ - её новое положение, $(x, y)$ - произвольная точка. Реперная точка единственным образом соединяется с границей отрезком, который проходит через точку $(x, y)$. Правильно?

[arseniiv]

Если popolznev угадал, то, видимо, с несколькими точками преобразование, которое prozaeck имеет в виду, будет тоже кусочно-линейным и переводящим друг в друга триангуляции по вершинам квадрата и заданным точкам.

-- Вс окт 05, 2014 00:49:06 --

Хотя точки могут переместиться так, что триангуляция по начальным не будет соответствовать оной по конечным…

[prozaeck]

Честно говоря, не ожидал что будет так трудно объяснить, что я хочу. Особенно учитывая то, что эту задачу многие решали, в чем я уверен. На самом деле, для меня не принципиально как поведут себя все точки кроме реперной и точек на периметре. Я полагал, что кто-то предложит какой-то известный алгоритм.

На картинке
https://cloud.mail.ru/public/4029304b8d57%2Fp1.png
стрелочкой показано куда должна переместится красная ячейка (назову ее реперной). Ячейки по периметру фигуры не должны перемещаться. Остальные ячейки как-то перемещаются, главное что-бы картинка деформировалась ожидаемо.
Мне примерно ясно как это сделать. Но есть и более сложные случаи. Например такой:
https://cloud.mail.ru/public/75b2efd95720%2Fp2.png
Очень бы хотелось не изобретать велосипед, а найти существующий проверенный алгоритм.

[arseniiv]

Ну и нарисуйте же, что вам кажется «ожидаемым». А теперь у вас и лист непрямоугольный — это забытое уточнение или несоответствие скриншота?

Вообще, я уже упомянул один из способов решения, который к вашей конкретной задачи подойдёт — если вы только скажете, что преобразование, которое предположил popolznev, то самое, — но вы не прокомментировали его. Если то, то делаете триангуляцию, считаете параметры всех кусочно-линейных преобразований и потом применяете их. Правда, триангуляция не обязательно единственна, но для вашего случая это, вроде, никак не сказывается на результате. (И другой мой комментарий о несоответствии триангуляций тоже к этому случаю не относится.)

[prozaeck]

То что я считаю ожидаемым я уже рисовал (ссылка в первом сообщении). Больше мне нечего сказать. Повторюсь, что я не хочу ставить задачу четко, поскольку не уверен что, то что я предлагаю действительно подойдет, что этот алгоритм самый простой, что его легко запрограммировать. То, что спросил popolznev я не понял. Полагал, что после скриншотов вопросы отпадут. По поводу триангуляции тоже не ясно. Нельзя ли поподробнее. Я считал, что триангуляция, это метод получения координат точки по расстояниям до трех других с известными координатами. Если не ошибаюсь, нужно решать систему из трех квадратичных уравнений. Явно не то, что мне нужно.