2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Оценка огибающей периодической функции
Сообщение22.09.2014, 15:04 


15/11/13
19
Уважаемый форум,

Помогите разобраться, на сколько тривиален результат.

Берем временной ряд, допустим температура воздуха, измеренная каждые 20 минут за последние 10 лет на одной метеостанции (более 70000 измерений). Делим ряд на части, равные допустим 1 суткам. Для каждых суток находим 4 значения: $O_i - $ начальная температура $i$-х суток; $H_i - $ максимальная температура $i$-х суток; $L_i - $ минимальная температура $i$-х суток; $C_i - $ конечная температура $i$-х суток. Строим из них комбинацию:$$
K_i=\begin{cases}
0,&\text{если $H_i=L_i$;}\\
\frac{C_i - O_i}{H_i - L_i},&\text{иначе.}
\end{cases}
$$
Видно, что $-1\leqslant K_i\leqslant 1 (i=0..N_t)$ при любых показаниях температуры. Всего получилось $N_t\approx 3700$ суток.

Далее построим $M_{ij}=\frac{M_{i(j-1)}+aM_{(i-1)(j-1)}} b, j=0..N_p, M_{0j}=0$ везде, за исключением $M_{00}=K_0$ как впрочем и все $M_{i0}=K_i$, $a,b=const$, $N_p -$ количество линейных комбинаций я ограничил 100.

В случае $a=1,b=1$ и при фиксированном $i$ получаем частные суммы, которые ведут себя как периодические функции от $j$ с экспоненциально растущей амплитудой, которая при $j=N_p$ может достигать $\pm 10^{29}$.

У меня получилась оценка сверху огибающей функции $M_{ij}$ при $a=\pm 1,b=1$. Верхняя огибающая $tM_{j}=\max_{i=0..N_t}{(M_{ij})}=t_0\exp{(t_1j)}$, нижняя огибающая $bM_{j}=\min_{i=0..N_t}{(M_{ij})}=-t_0\exp{(t_1j)}$. Причем, $t_0=1\pm 30\%$.

И собственно сам результат, о тривиальности которого я спрашиваю: $t_1=\frac 1 {\sqrt[3]{\pi}} \pm 1\%$ для разных временных рядов: температура воздуха, относительная влажность, атмосферное давление, сгенерированный белый шум: $(2RAND()-1)$ из LibreCalc.

С уважением,
Анатолий

PS: ткните в источники, если возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение24.09.2014, 14:27 


15/11/13
19
Скажите, пожалуйста, кто-нибудь использовал ранее выражения типа $M_{ij}$? Там при определенных значениях $b$ появляются биения, объяснить которые я не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение24.09.2014, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5250
Москва

(Оффтоп)

askrotov в сообщении #910508 писал(а):
допустим температура воздуха


А ежели "не допустим", то курс акций? Для них цена Close и Open осмыслена, поскольку биржи не круглосуточны. А для метеостанций - нет. Там, если меряют с интервалом 20 минут, то всё время суток, и "открытия/закрытия" нет.


Если Вы возьмёте $b=a+1$, то у Вас получится экспоненциальное сглаживание. А вся Ваша процедура сведётся к p раз повторенному сглаживанию.
А если $(a+1)>b$, то у Вас будет расти экспоненциально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 06:16 


15/11/13
19

(Оффтоп)

Согласен, $K_i$ взял из Forex'а. Но применяю здесь. Причина - задача определить направление изменения климатических факторов на $n$ часов, дней, недель вперед. Другой нормированной конструкцией может быть $K_i=\frac {C_i-C_{i-1}} {H_i-L_i}$ при $H_i>L_i$ иначе $K_i=0$.


Можно ли конструкцию $M_{ij}$ представить в виде дифференциального уравнения с частными производными:
$\frac {\partial M(t,x)}{\partial t}=\alpha \frac {\partial M(t,x)}{\partial x}+\beta M(t,x)$ с граничными условиями $M(t=0,x)=0, M(t,x=0)=K(t)$, где $\alpha ,\beta$ функции от $a,b$? Правомерен ли такой переход?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5250
Москва
А зачем? Тут и в конечных разностях всё ясно.
А можно уточнить, что Вы имеете в виду под "огибающей"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 08:43 


15/11/13
19
Евгений Машеров в сообщении #911765 писал(а):
А можно уточнить, что Вы имеете в виду под "огибающей"?


Верхняя огибающая: максимальное значение $M_{ij}$, когда $i$ пробегает от 0 до $N_t-1$ при фиксированном $j$.

Нижняя огибающая: минимальное значение $M_{ij}$, когда $i$ пробегает от 0 до $N_t-1$ при фиксированном $j$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 09:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5250
Москва
Нет, что Вы понимаете под огибающей периодической функции (я так понял - исходной?).
Потому, как обычно под этим термином понимают
Изображение
нечто подобное сплошной жирной линии на нижнем рисунке.
А у Вас нечто иное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 10:22 


15/11/13
19
Евгений, я Вас понял. У Вас на картинке одна периодическая кривая и ее огибающая. Я неверно выразился, поправьте меня, пожалуйста. Обозначения из первого поста $tM_j, bM_j -$ это огибающие серии кривых (минимум и максимум из выборки $N_t$ последовательных интервалов времени при фиксированном $j$).
Для варианта $a=\pm 1,b=1$, чтобы наглядно разместить на графике, мне пришлось сделать следующие преобразования:

Горизонтальная ось $-N_p\leq j\leq N_p$, причем положительная полуось соответствует $a=-1$, а отрицательная $a=1$;
По вертикальной оси отложена величина $\operatorname{SGN} (M_{ij})\ln (|M_{ij}|)$, где $\operatorname{SGN} (x)=\begin{cases}
1,&\text{если $x>0$;}\\
0,&\text{если $x=0$;}\\
-1,&\text{если $x<0$.}
\end{cases}$

Изображение

Здесь 10 последовательных интервалов времени отмечены кривыми с точками разных цветов.
Зеленая и красная прямые, как раз линейные аппроксимации логарифмов огибающих в моем понимании.

Ниже 5 последовательных интервалов для $a=\pm 1,b=2$ (здесь горизонтальная ось как на первом рисунке, по вертикали исходные $M_{ij}$):
Изображение

Для варианта $a=1,b=2$ огибающие в моем понимании от $N_t$ кривых, по горизонтальной оси $j$:
Изображение

И вопрос, который я вчера задавал. Для случая $a=1,b=2$, если посмотреть нижнюю огибающую $bM_j$ (синяя кривая, ось слева) и ее конечные разности $bM_j-bM_{j-1}$ (красная кривая, логарифмическая ось справа), то получим такую картинку:

Изображение

Вопрос: с чем связано такое поведение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 11:12 


23/05/12

1245
Приращения определенного периода больше, чем другие. Пики на красной кривой, наверное, соответствуют у вас неделям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 11:32 


15/11/13
19
По вертикальной оси минимум функции $M_{ij}$ по всей временной выборке от нормированных показаний температуры воздуха $K_i$ (первое сообщение), $j -$ индекс по приращениям для одной точки по времени. Поясните, пожалуйста, как эти биения связаны со временем.

Видно, что они делятся (не знаю, как выразиться) как четные всегда больше нечетных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 11:37 


23/05/12

1245
Имхо, надо знать точную природу данных и процедуру манипуляций. Мы только в общем поняли, что вы там брали и что делали.
Как вариант, можно попробовать ваши $K_i$ умножить на $-1$ и вывести ту же картинку.

-- 25.09.2014, 12:41 --

Так это температура воздуха у вас на картинке последней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 11:54 


15/11/13
19
На последней картинке график минимумов $bM_j$ выборки по времени как функция индекса приращения $j$ от нормированной температуры воздуха за период от 9 июля 2002 по 29 мая 2013 (где-то у Черного моря). Если хотите, могу выслать в личку LibreOffice Calc файл с выкладками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 13:33 


23/05/12

1245
Спасибо, не надо в личку )
Гипотеза, могу ошибаться, смотрел поверхностно, поскольку это многократные частичные суммы, то именно серединка используется по нескольку раз, т.е. это артефакт вашей процедуры построения матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 13:47 


15/11/13
19
Какие варианты преодоления этого артефакта Вы можете предложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка огибающей периодической функции
Сообщение25.09.2014, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5250
Москва
Процедура расчёта включает предварительный этап, переход к безразмерным величинам, и основной, построение матрицы М.
Нулевая строка матрицы совпадает с полученными безразмерными величинами, а последующие получаются посредством процедуры, совпадающей с экспоненциальным сглаживанием с тем отличием, что каждое последующее значение умножается на коэффициент $\frac 1 b + \frac a b$, при указанных значениях больший единицы, что и вызывает экспоненциальный рост. Если избавиться от этого недостатка, взяв $a=b-1, a>0, b>0$, получим сглаживающий фильтр, довольно грубый (с малой крутизной среза частотной характеристики), выделяющий низкочастотную компоненту. Повторяя эту процедуру, будем выделять всё более низкочастотные составляющие (в пределе - прямую линию тренда или константу).
То есть это НЧ-фильтр, вместе сложный и с плохими характеристиками, как фильтра, непоправимо испорченный экспоненциальным ростом из-за выбора a и b.
Замечу, что результат не будет огибающей в каком-либо употребительном смысле этого слова.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group