Симметричные множества точек

[stef]

Назовём множество $\{A_1, ... A_n\} $ метрико-симметричным, если для любого$i \in \{1, ... n\}$ множество чисел $\rho (A_1, A_i), ... , \rho (A_n, A_i)$ совпадает с множеством чисел $\rho (A_1, A_2), ... , \rho (A_1, A_n)$ (то есть является их перестановкой). Описать все метрико-симметричные множества точек
а) на плоскости;
б) в пространстве.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[ИСН]

Ну по крайней мере подходят все симметричные в обычном смысле (то есть где все точки эквивалентны в рамках действия группы симметрии). А вот есть ли что-то кроме...

[patzer2097]

stef в сообщении #893285 писал(а):

множество чисел $\rho (A_1, A_i), ... , \rho (A_n, A_i)$ совпадает с множеством чисел $\rho (A_1, A_2), ... , \rho (A_1, A_n)$ (то есть является их перестановкой)

а что такое $\rho$ и как множество из $n$ чисел может быть перестановкой множества из $n-1$ чисел?

[gris]

$\rho$ это расстояние, а множества можно уравнять, выбросив ноль из первого или добавив ноль во второе.
Например, множество вершин правильного многоугольника. Там перестановка будет типа сдвига (не помню, как такая называется ). Для квадрата: $(0,1,\sqrt2,1)\to (1,\sqrt2,1,0)\to (\sqrt2,1,0,1)\to (1,0,1,\sqrt2)$
А бывают перестановки хаотические (кроме, конечно, случаев равенства всех расстояний)? И равенство множеств понимается именно с точностью до кратности элементов?
А какой пример, кроме вершин отрезка, правильного многоугольника и многогранника (если для обычной метрики)
А вдруг метрика дискретна, тогда вообще любое множество подойдет

[mihaild]

gris в сообщении #893353 писал(а):

А какой пример, кроме вершин отрезка, правильного многоугольника и многогранника (если для обычной метрики)
А вдруг метрика дискретна, тогда вообще любое множество подойдет

Прямоугольник, например.

И вроде бы как минимум для конечного случая все точки должны лежать на границе выпуклой оболочки, но пока не понимаю, как это доказать (то, что максимальное расстояние от точки внутри выпуклой оболочки до точки на границе меньше максимального расстояния между вершинами выпуклой оболочки, ведь неправда?).

[Aritaborian]

mihaild в сообщении #893356 писал(а):

то, что максимальное расстояние от точки внутри выпуклой оболочки до точки на границе меньше максимального расстояния между вершинами выпуклой оболочки, ведь неправда?

Почему неправда?

[mihaild]

Aritaborian в сообщении #893374 писал(а):

mihaild в сообщении #893356 писал(а):

то, что максимальное расстояние от точки внутри выпуклой оболочки до точки на границе меньше максимального расстояния между вершинами выпуклой оболочки, ведь неправда?

Почему неправда?

Это был вопрос

И это правда, причем почти очевидно. Рассмотрим точку $x$ из множества и точку $y$ с границы выпуклой оболочки, пусть расстояние от $x$ до $y$ больше либо равно максимальному расстоянию от $y$ до остальных точек выпуклой оболочки. Тогда $R_{\rho(x, y)}$ - выпуклое множество, содержащее все точки; пересечем его с нашей выпуклой оболочкой - получим выпуклое множество, содержащее всего точки и содержащее $x$ - значит, $x$ принадлежит границе выпуклой оболочки.

[gris]

Для плокости все точки должны лежать на окружности? И подойдут правильные многоугольники (их вершины), а так же многоугольники с чередованием сторон, то есть как бы удвоенный с небольшим поворотом многоугольник. А в пространстве подойдут прямые призмы с такими основаниями, а так же их скрученные модификации?

[mihaild]

Есть несимметричный пример, если без учета кратности ("как множества"):
$A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(\frac{1}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
$AB^2 = AC^2 = 1, AD^2 = 2$
$BA^2 = 1, BC^2 = BD^2 = 2$
$CA^2 = CD^2 = 1, CB^2 = 2$
$DA^2 = DB^2 = 2, DC^2 = 1$

[patzer2097]

gris в сообщении #893390 писал(а):

Для плокости все точки должны лежать на окружности?

а как это доказать, gris?

[stef]

Цитата:

И равенство множеств понимается именно с точностью до кратности элементов?

Если написано что-то, что можно трактовать неоднозначно, а потом в скобочках уточнение, то верно то, что в скобочках. В данном случае, кратность учитывать. Так что пример mihaild не подразумевался условием задачи.

Цитата:

Для плокости все точки должны лежать на окружности? И подойдут правильные многоугольники (их вершины), а так же многоугольники с чередованием сторон, то есть как бы удвоенный с небольшим поворотом многоугольник.

Да, всё верно. Ждём доказательства)

[patzer2097]

stef в сообщении #893699 писал(а):

Если написано что-то, что можно трактовать неоднозначно

То, что у Вас написано в первом посте, трактуется однозначно. Это ложное утверждение, как Вам было уже указано:

patzer2097 в сообщении #893349 писал(а):

как множество из $n$ чисел может быть перестановкой множества из $n-1$ чисел?

Впрочем, Ваша задача весьма интересная!

[stef]

patzer2097 в сообщении #894128 писал(а):

stef в сообщении #893699 писал(а):

Если написано что-то, что можно трактовать неоднозначно

То, что у Вас написано в первом посте, трактуется однозначно. Это ложное утверждение, как Вам было уже указано:

patzer2097 в сообщении #893349 писал(а):

как множество из $n$ чисел может быть перестановкой множества из $n-1$ чисел?

Запись $x_1, ... , x_n$ часто не трактуется однозначно, поскольку три точки -- символ без математического определения. Это как если бы я записал интерполяционную формулу Лагранжа в виде $\sum y_i \frac{(x-x_1) \cdots (x-x_n)}{(x_i-x_1) \cdots (x_i-x_n)}$, то мне бы сказали, что это бессмысленное выражение, на ноль делится. А вообще-то, если все всё прекрасно поняли, то так ли уж важно, как записывать условие?