2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по алгебре 2
Сообщение30.06.2014, 11:37 


12/06/14
28
Всем спасибо за помощь по первой задаче.
Задача 2. Пусть $X$ - какое-л. множество и $2^X$ - множество его подмножеств. Доказать, что $2^X$ - кольцо относительно операции симметрической разности $$M\Delta N =(M\setminus N)\cup(N\setminus M)$$ и пересечения, взятых в качестве сложения и умножения соответственно. Доказать, что это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.
Док-во:
Вообще операции сложения и умножения замкнуты и $2^X$ - алгебраическая структура.
1.Докажем, что $2^X$ - кольцо.
1.1.Докажем, что $2^X$ - аддитивная абелева группа.
Проверим аксиомы аддитивной абелевой группы.
1.1.1. $A\Delta B=B\Delta A$
$A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ , $B\Delta A=(B\setminus A)\cup(A\setminus B)$
Поэтому достаточно показать коммутативность объединения.
$A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\Leftrightarrow x\in B\vee x\in A\Leftrightarrow B\cup A$, $A\cup B=B\cup A$
1.1.2. $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$
$(A\Delta B)\Delta C\Leftrightarrow (x\in (A\Delta B)\wedge x\notin C)\vee (x\notin(A\Delta B)\wedge x\in C)\Leftrightarrow ((x\in A\wedge x\notin B)\vee(x\notin A\vee x\in B)\wedge x\notin C) \vee (x\notin A \wedge x\notin B \wedge x\in C)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C)\vee ((x\notin B\wedge x\in C)\vee (x\in B\wedge x\notin C)\wedge x\in A)\Leftrightarrow A\Delta (B\Delta C)  $
1.1.3.$\varnothing \in 2^X$, $M\in 2^X$
$\varnothing$ - ноль.
$M\Delta\varnothing=M$
Очевидно.
1.1.4.$M$ - противоположный элемент $M$.
$M\Delta M=\varnothing$
Очевидно.
1.2.$(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$, $A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$
$(A\Delta B)\cap C=((A\setminus B)\cup (B\setminus A))\cap C=((A\setminus B)\cap C)\cup((B\setminus A)\cap C)=((A\cap C)\setminus (B\cap C))\cup ((B\cap C)\setminus (A\cap C))=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$
$A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$ доказывается аналогично.
Мы использовали то, что $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C), (A\setminus B)\cap C=(A\cap C)\setminus (B\cap C)$
Таким образом, $2^X$ - кольцо.
Коммутативность и ассоциативность кольца показывается несложно.
Т.е. $A\cap B=B\cap A$
$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
Единицей будет являться само множество $X$ $X\in 2^X$, $M\in 2^X$
$X\cap M=X$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение30.06.2014, 11:44 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Единственное что, мне не понравилась расстановка скобок в 1.1.2. Как ни как конъюнкиция (логическое "и") имеет приоритет бОльший, чем дизъюнкция (логическое "или").

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре 2
Сообщение01.07.2014, 19:10 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5662
 i  Последовавшая задача выделена в отдельную тему. Убедительная просьба обсуждать её там.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group