2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение16.06.2014, 09:29 
Аватара пользователя


06/12/10
46
Доброго времени, ув. форумчане)
Очень прошу дать хоть какие-то замечания (подсказки) по поводу доказательства следующей задачки из учебника У. Рудина:

Цитата:
Пусть $L_1$ и$ L_2$ - обычные Лебеговы пространства на единичном интервале. Доказать следующими 2-мя способами, что $L_2$ является множеством первой категории (по Бэру) в $ L_1$:

(а) показать, что множество $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ замкнуто в L_1, но имеет пустую внутренность

(б) пусть $g_n(t) = n$ на $ [0, n^{-3}]$ и $g_n(t) = 0$ вне $[0, n^{-3}]$; показать, что:
$ \int{f g_n}  \rightarrow 0$
для любых функций $f \in  L_2$, но не для любых функций $f \in  L_1$


Собсвенно, есть подсказки:
    для пункта (а) вроде как надо использовать какую-нибудь теорему о предельном переходе (напр. лемму Фату)
    для пункта (б) же воспользоваться свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега (напр. Неравенством Гёлдера)

Буду очень благодарен за комментарии в любом объёме - может есть какой-то задачник, где подобные доказательства рассматриваются в качестве примера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение16.06.2014, 11:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
vedro-compota в сообщении #875946 писал(а):
для пункта (б) же воспользоваться свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега (напр. Неравенством Гёлдера)

Утверждение про $L_2$ тривиально следует из неравенства Коши-Буняковского (эта последовательность стремится к нулю по норме). Для $L_1$ понятно, что в качестве нехорошей $f$ надо брать что-то, стремящееся к бесконечности в нуле. Ну так и возьмите чистую отрицательную степень, достаточно близкую к минус единичной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение16.06.2014, 12:28 
Аватара пользователя


06/12/10
46
ewert, спасибо. После вашего замечания направление, "в котором смотреть"относительно пункта (б) ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 09:56 
Аватара пользователя


06/12/10
46
товарищи, подскажите как показать "неплотность" $ L_2$ в $L_1$ (пунк а) - по-идее надо сравнивать нормы функций с коэффициентом и показать, что в функции "близкие" в $L_1$ сильно расходятся в $L_2$
...или что-то вроде того. подскажите как именно их сравнивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 12:56 


10/02/11
6786
vedro-compota в сообщении #875946 писал(а):
показать, что множество $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ замкнуто в L_1, но имеет пустую внутренность

Замкнутость, видимо, доказывается так (возможно я усложняю). Берем последовательность $\{f_n\}\subset \{f : \int{|f|^2} \leq n \}$, которая сходится в $L^1$. Но из нее можно извлечь подпоследовательность , слабо сходящуюся в $L^2$ (теорема Эберлейна-Шмульяна). Шар в $L^2$ слабо компактен ,значит слабо замкнут. Значит предельная функция $\in \{f : \int{|f|^2} \leq n \}$. Остались кое-какие подробности.

-- Вт июн 24, 2014 13:03:20 --

неплотность. берем функцию из $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ и на множестве малой меры изменяем ее ,приделывая к ней особенность вида $1/\sqrt x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 15:43 


16/06/14
96
Подсказка для (а) была правильной. Есть сходимость в $L^2$ -> есть подпоследовательность \{f_n\}, которая сходится почти везде. Осталось проверить применимость леммы Фату для \{f_n^2\}

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 16:19 


10/02/11
6786
deep down в сообщении #879221 писал(а):
Есть сходимость в $L^2$ -> есть подпоследовательност

а при чем тут сходимость в $L^2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение25.06.2014, 11:22 


10/02/11
6786
и вообще пусть имеется непрерывное вложение одного банахова пространства в другое $T:E\to F$. Причем $E$ рефлексивно. Тогда образ замкнутого шара $E$ замкнут в $F$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group