Доказательство задачи о пространствах L1 и L2

[vedro-compota]

Доброго времени, ув. форумчане)
Очень прошу дать хоть какие-то замечания (подсказки) по поводу доказательства следующей задачки из учебника У. Рудина:

Цитата:

Пусть $L_1$ и$ L_2$ - обычные Лебеговы пространства на единичном интервале. Доказать следующими 2-мя способами, что $L_2$ является множеством первой категории (по Бэру) в $ L_1$:

(а) показать, что множество $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ замкнуто в L_1, но имеет пустую внутренность

(б) пусть $g_n(t) = n$ на $ [0, n^{-3}]$ и $g_n(t) = 0$ вне $[0, n^{-3}]$; показать, что:
$ \int{f g_n} \rightarrow 0$
для любых функций $f \in L_2$, но не для любых функций $f \in L_1$

Собсвенно, есть подсказки:

для пункта (а) вроде как надо использовать какую-нибудь теорему о предельном переходе (напр. лемму Фату)
для пункта (б) же воспользоваться свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега (напр. Неравенством Гёлдера)

Буду очень благодарен за комментарии в любом объёме - может есть какой-то задачник, где подобные доказательства рассматриваются в качестве примера?

[ewert]

vedro-compota в сообщении #875946 писал(а):

для пункта (б) же воспользоваться свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега (напр. Неравенством Гёлдера)

Утверждение про $L_2$ тривиально следует из неравенства Коши-Буняковского (эта последовательность стремится к нулю по норме). Для $L_1$ понятно, что в качестве нехорошей $f$ надо брать что-то, стремящееся к бесконечности в нуле. Ну так и возьмите чистую отрицательную степень, достаточно близкую к минус единичной.

[vedro-compota]

ewert, спасибо. После вашего замечания направление, "в котором смотреть"относительно пункта (б) ясно.

[vedro-compota]

товарищи, подскажите как показать "неплотность" $ L_2$ в $L_1$ (пунк а) - по-идее надо сравнивать нормы функций с коэффициентом и показать, что в функции "близкие" в $L_1$ сильно расходятся в $L_2$
...или что-то вроде того. подскажите как именно их сравнивать.

[Oleg Zubelevich]

vedro-compota в сообщении #875946 писал(а):

показать, что множество $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ замкнуто в L_1, но имеет пустую внутренность

Замкнутость, видимо, доказывается так (возможно я усложняю). Берем последовательность $\{f_n\}\subset \{f : \int{|f|^2} \leq n \}$, которая сходится в $L^1$. Но из нее можно извлечь подпоследовательность , слабо сходящуюся в $L^2$ (теорема Эберлейна-Шмульяна). Шар в $L^2$ слабо компактен ,значит слабо замкнут. Значит предельная функция $\in \{f : \int{|f|^2} \leq n \}$. Остались кое-какие подробности.

-- Вт июн 24, 2014 13:03:20 --

неплотность. берем функцию из $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ и на множестве малой меры изменяем ее ,приделывая к ней особенность вида $1/\sqrt x$

[deep down]

Подсказка для (а) была правильной. Есть сходимость в $L^2$ -> есть подпоследовательность \{f_n\}, которая сходится почти везде. Осталось проверить применимость леммы Фату для \{f_n^2\}

[Oleg Zubelevich]

deep down в сообщении #879221 писал(а):

Есть сходимость в $L^2$ -> есть подпоследовательност

а при чем тут сходимость в $L^2$ ?

[Oleg Zubelevich]

и вообще пусть имеется непрерывное вложение одного банахова пространства в другое $T:E\to F$. Причем $E$ рефлексивно. Тогда образ замкнутого шара $E$ замкнут в $F$