2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение16.06.2014, 09:29 
Аватара пользователя
Доброго времени, ув. форумчане)
Очень прошу дать хоть какие-то замечания (подсказки) по поводу доказательства следующей задачки из учебника У. Рудина:

Цитата:
Пусть $L_1$ и$ L_2$ - обычные Лебеговы пространства на единичном интервале. Доказать следующими 2-мя способами, что $L_2$ является множеством первой категории (по Бэру) в $ L_1$:

(а) показать, что множество $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ замкнуто в L_1, но имеет пустую внутренность

(б) пусть $g_n(t) = n$ на $ [0, n^{-3}]$ и $g_n(t) = 0$ вне $[0, n^{-3}]$; показать, что:
$ \int{f g_n}  \rightarrow 0$
для любых функций $f \in  L_2$, но не для любых функций $f \in  L_1$


Собсвенно, есть подсказки:
    для пункта (а) вроде как надо использовать какую-нибудь теорему о предельном переходе (напр. лемму Фату)
    для пункта (б) же воспользоваться свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега (напр. Неравенством Гёлдера)

Буду очень благодарен за комментарии в любом объёме - может есть какой-то задачник, где подобные доказательства рассматриваются в качестве примера?

 
 
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение16.06.2014, 11:11 
vedro-compota в сообщении #875946 писал(а):
для пункта (б) же воспользоваться свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега (напр. Неравенством Гёлдера)

Утверждение про $L_2$ тривиально следует из неравенства Коши-Буняковского (эта последовательность стремится к нулю по норме). Для $L_1$ понятно, что в качестве нехорошей $f$ надо брать что-то, стремящееся к бесконечности в нуле. Ну так и возьмите чистую отрицательную степень, достаточно близкую к минус единичной.

 
 
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение16.06.2014, 12:28 
Аватара пользователя
ewert, спасибо. После вашего замечания направление, "в котором смотреть"относительно пункта (б) ясно.

 
 
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 09:56 
Аватара пользователя
товарищи, подскажите как показать "неплотность" $ L_2$ в $L_1$ (пунк а) - по-идее надо сравнивать нормы функций с коэффициентом и показать, что в функции "близкие" в $L_1$ сильно расходятся в $L_2$
...или что-то вроде того. подскажите как именно их сравнивать.

 
 
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 12:56 
vedro-compota в сообщении #875946 писал(а):
показать, что множество $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ замкнуто в L_1, но имеет пустую внутренность

Замкнутость, видимо, доказывается так (возможно я усложняю). Берем последовательность $\{f_n\}\subset \{f : \int{|f|^2} \leq n \}$, которая сходится в $L^1$. Но из нее можно извлечь подпоследовательность , слабо сходящуюся в $L^2$ (теорема Эберлейна-Шмульяна). Шар в $L^2$ слабо компактен ,значит слабо замкнут. Значит предельная функция $\in \{f : \int{|f|^2} \leq n \}$. Остались кое-какие подробности.

-- Вт июн 24, 2014 13:03:20 --

неплотность. берем функцию из $\{f : \int{|f|^2} \leq n \}$ и на множестве малой меры изменяем ее ,приделывая к ней особенность вида $1/\sqrt x$

 
 
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 15:43 
Подсказка для (а) была правильной. Есть сходимость в $L^2$ -> есть подпоследовательность \{f_n\}, которая сходится почти везде. Осталось проверить применимость леммы Фату для \{f_n^2\}

 
 
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение24.06.2014, 16:19 
deep down в сообщении #879221 писал(а):
Есть сходимость в $L^2$ -> есть подпоследовательност

а при чем тут сходимость в $L^2$ ?

 
 
 
 Re: Доказательство задачи о пространствах L1 и L2
Сообщение25.06.2014, 11:22 
и вообще пусть имеется непрерывное вложение одного банахова пространства в другое $T:E\to F$. Причем $E$ рефлексивно. Тогда образ замкнутого шара $E$ замкнут в $F$

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group