Смещение оценки параметра N биномиального распределения

[ivanppp]

Априорное допущение - величина $k$ (количество успешных исходов в $N$ экспериментах) распределена биномиально, с параметрами $p$ (вероятность успешного исхода в одном эксперименте) и $N$ (количество экспериментов).

Т.е. имеется распределение $B(k|p,N)$.

Допустим есть одна серия из $N$ экспериментов с $k$ положительными результатами, тогда максимально правдоподобной оценкой параметра $p$ является $\frac{k}{N}$ и эта оценка несмещенная.

С другой стороны, если имеется $k$ положительных результатов в серии опытов с вероятностью успешного исхода в каждом $p$, то какова оценка на количество поставленных опытов $N$? можно догадаться, что максимально правдоподобной оценкой является $\frac{k}{p}$, но эта величина не всегда целое число, поэтому максимально правдоподобной является округление до ближайшего целого от $\frac{k}{p}$.

Следующий возникающий вопрос - как оценить смещение полученной (целочисленной) оценки? И как сформулировать после этого содержательное утверждение, касающееся оценки $N$, в стиле "$N$ равно тому-то, с статистической неопределенностью такой-то и систематической такой-то"??

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Cash]

Оценка максимального правдоподобия - это строгий математический термин, который и не обязан совпадать с бытовыми представлениями о правдоподобии. Равно как и в случае с математическим ожиданием. Вас же, надеюсь, не смущает дробное значение матожидания случайной величины, принимающей только целочисленные значения?

[ivanppp]

Cash,
строго говоря максимальное правдоподобие (в случае с одним параметром $N$ и одним измерением $k$) это значение $N$ при котором $PDF(k|N)$ в измеренном значении оказывается максимальной из всех возможных при допустимых значениях параметра. так?

[Александрович]

ivanppp в сообщении #872238 писал(а):

Следующий возникающий вопрос - как оценить смещение полученной (целочисленной) оценки? И как сформулировать после этого содержательное утверждение, касающееся оценки $N$, в стиле "$N$ равно тому-то, с статистической неопределенностью такой-то и систематической такой-то"??

ГОСТ 11.010-81. Прикладная статистика: Правила определения оценок параметров и доверительных интервалов для биномиального и отрицательного биномиального распределения. М:. Изд-во стандартов, 1981.

[Cash]

Непонятно что Вы подразумеваете под $PDF(k|N)$, но подозреваю, что это функция правдоподобия.
Если на пальцах по Вашему примеру, то вы находите вероятность $k$ успехов при $N=k$ бросках, затем при $N=k+1$ и т.д. Там где получится наибольшее значение и будет оценкой максимального правдоподобия параметра $N$. Да, оно будет целым. По-видимому, оно будет одним из двух целых, "окружающих" $\frac kp$, но утверждать, что именно ближайшим целым - я бы поостерегся.

[ivanppp]

да, в данном случае (одно измерение количества успешных исходов) плотность вероятность $PDF(k|N)$ это и есть функция правдоподобия, оно же биномиальное распределение.

Вот мы перебрали $N$ от $k$ до бесконечности и увидели, что наибольшее значение в $N = \frac{k}{p}$. Т.к. пик в биномиальном распределении более или менее симметричен (оно же гауссово в пределе), то и ближайшая к пику точка будет лежать выше.

На следующий вопрос я не могу ответить - каково смещение полученной целочисленной оценки?

Спасибо, за ваш интерес.

[ivanppp]

Александрович в сообщении #872415 писал(а):

ivanppp в сообщении #872238 писал(а):

Следующий возникающий вопрос - как оценить смещение полученной (целочисленной) оценки? И как сформулировать после этого содержательное утверждение, касающееся оценки $N$, в стиле "$N$ равно тому-то, с статистической неопределенностью такой-то и систематической такой-то"??

ГОСТ 11.010-81. Прикладная статистика: Правила определения оценок параметров и доверительных интервалов для биномиального и отрицательного биномиального распределения. М:. Изд-во стандартов, 1981.

Я вообще в шоке от того что такой ГОСТ существует, точнее существовал. .

ЧСХ, не могу найти ГОСТ 11.010-81 в интернете, только ссылки на него, но самого госта нет и он недействителен с 1987 года. Похоже с появлением Exel и программируемых микрокалькуляторов необходимость в таблицах и "правилах" отпала.

В общем, если это возможно, процитируйте, пожалуйста, тот кусочек госта в котором есть ответ на поставленный вопрос.

[Deggial]

ivanppp в сообщении #872699 писал(а):

ЧСХ

ivanppp, предупреждение за обсценную лексику.

[ivanppp]

спасибо, что предупредили

[ivanppp]

Уважаемые участники дискуссии, спасибо за проявленный интерес,
вопрос о смещении полученной целочисленной оценки остается открытым?